Question

f(x)在[0,1]上连续,I=1/2∫f(x)dx≠0,证明或否定:存在(0,1)内两个不同的数x1,

Answer 1

问：f(x)在[0,1]上连续,I=1/2∫f(x)dx≠0,证明或否定:存在(0,1)内两个不同的数x1,

问：大概就是这样

问：学高数时遇到的

答：可以证明存在这样的两个不同的数 x1 和 x2 使得 f(x1) = f(x2)。 因为 I = ∫^1_0 f(x) dx ≠ 0，所以 ∫^1_0 f(x) dx ≠ 0，即 f(x) 在 [0,1] 上的积分不为 0。 由于 f(x) 在 [0,1] 上是连续的，所以根据积分中值定理，存在一个数 c ∈ [0,1]，使得 ∫^1_0 f(x) dx = f(c)。 因此，我们可以将 f(x) 在 [0,1] 上的积分分成两部分： ∫^c_0 f(x) dx 和 ∫^1_c f(x) dx。 由于 ∫^1_0 f(x) dx ≠ 0，所以至少有一部分不为 0。不失一般性，我们假设 ∫^c_0 f(x) dx ≠ 0。 现在考虑函数 g(x) = ∫^x_0 f(t) dt。因为 f(x) 在 [0,1] 上连续，所以 g(x) 在 [0,1] 上也连续。根据介值定理，因为 g(0) = 0，g(1) = ∫^1_0 f(x) dx ≠ 0，所以存在一个数 d ∈ (0,1)，使得 g(d) = 0。 因此，f(d) 必须等于 0，否则 g(x) 在 d 处不可能为 0。现在我们可以将 [0,1] 分成两部分：[0,d] 和 [d,1]。由于 f(d) = 0，所以 f(x) 在 [0,d] 和 [d,1] 上的积分必须相等。因此，根据积分中值定理，存在两个不同的数 x1 和 x2，使得 f(x1) = f(x2)。

答：不同的数x1和x2，使得f(x1)=f(x2)。

问：g(d)为什么等于0呢

答：亲亲~一般情况下，g(d)等于0可能是因为d是函数的零点或者导致函数成为极值点的值。具体原因需要结合具体的函数形式和上下文来分析。

问：那里说根据介值定理然后g(d)=0，但是条件只有g(1)≠0，g(0)＝0，推不出来哈

答：根据介值定理，如果 $g(1) \neq 0$ 且 $g(0) = 0$，那么在 $[0, 1]$ 上就存在一个 $c \in (0,1)$，使得 $g(c) = 0$。 这是因为 $g(1) \neq 0$ 意味着 $g(x)$ 在 $x=1$ 附近的某个邻域中不为零，而 $g(0) = 0$ 意味着 $g(x)$ 在 $x=0$ 的邻域中为零。 由于 $g(x)$ 是连续函数，因此 $g(x)$ 从 $0$ 开始，随着 $x$ 的增加或减少而改变符号，由此必然存在一个点 $c \in (0,1)$，使得 $g(c)=0$。 因此，根据介值定理，我们可以得出在 $[0,1]$ 上至少存在一个点 $c$，使得 $g(c)=0$。