Question

已知双曲线c：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,其一 条渐近线的方程为y＝-根号3x.A 为双曲线C的左顶点且AF1: AF2=-12.
(1)求双曲线C的标准方程.
(2)过双曲线上的一点P(P在第一象限)作斜率不为士根号3的直线l,l与直线x=1交于点Q，
且直线l与双曲线C有且只有一个交点.问:是否存在一一个定点M.使得PM·QM=0恒
成立?若存在,求出定点M的坐标;若不存在，请说明理由.

Answer 1

问：已知双曲线$c: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$（其中$a > 0, b > 0$）的左、右焦点分别为$F_1$和$F_2$，其中一条渐近线的方程为$y = -\sqrt{3}x$。点$A$为双曲线$C$的左顶点，且$\frac{AF_1}{AF_2} = -\frac{12}{5}$。 (1) 求双曲线$C$的标准方程。 (2) 过双曲线上的一点$P$（点$P$在第一象限）作斜率不为$\pm \sqrt{3}$的直线$l$，直线$l$与直线$x=1$交于点$Q$。问：是否存在一个定点$M$，使得$\vec{PM} \cdot \vec{QM} = 0$恒成立？如果存在，求出定点$M$的坐标；如果不存在，请说明理由。 【分析】 (1) 根据渐近线方程和$\frac{AF_1}{AF_2}$的值，可以列出方程组解出$a, b, c$。 (2) 设直线$l$的方程为$y = k(x - 1)$，与双曲线方程联立，消去$x$后得到关于$y$的一元二次方程。根据判别式$\Delta = 0$，解出斜率$k$，然后求出点$P, Q, M$的坐标，最后验证是否满足$\vec{PM} \cdot \vec{QM} = 0$。 【解答】 (1) 由渐近线方程得$\frac{b}{a} = \sqrt{3}$，由$\frac{AF_1}{AF_2} = -\frac{12}{5}$得$\frac{c - a}{c + a} = -\frac{12}{5}$。解这个方程组得： $\left\{ \begin{array}{l} \frac{b}{a} = \sqrt{3}, \\ \frac{c - a}{c + a} = -\frac{12}{5}, \\ a^2 + b^2 = c^2. \end{array} \right.$解得： $\left\{ \begin{array}{l} a = 5, \\ b = 5\sqrt{3}, \\ c = 10. \end{array} \right.$所以双曲线$C$的标准方程为$\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{75} = 1$. (2) 设直线$l$的方程为$y = k(x - 1)$（其中$k \neq \pm \sqrt{3}$），与双曲线方程联立得： $\frac{x^2}{25} - \frac{(k(x - 1))^2}{75} = 1,$化简得：$(75 - 25k^2)x^2 + 50k^2x - (25k^2 - 75) = 0$. 由于直线与双曲线只有一个交点，所以判别式$\Delta = 0$, 即$(50k^2)^2 - 4(75 - 25k^2)(25k^2 - 75) = 0$, 解得： $\left\{ \begin{array}{l} k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}, \\ a = 5, \\ b = 5\sqrt{3}. \end{array} \right.$设点$P(x_1, y_1), Q(1, y_0), M(x_0, y_0)$，则有： $\left\{ \begin{array}{l} y_0 = k(1 - x_0), \\ y_1 = k(x_1 - 1), \\ y_0 y_1 + (y_0 - y_1)(x_0 - x_1) = 0. \end{array} \right.$解得： $\left\{ \begin{array}{l} k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}, \\ x_0 = \frac{7}{4}, \\ y_0 = \pm \frac{\sqrt{3}}{4

答：(1) 双曲线的左、右焦点到顶点的距离分别为 ae 和 be。根据题目条件可得： AF1 : AF2 = ae + 12ae : be - 12be = 13 : 11 由于双曲线的离心率为 e = √(a^2 + b^2)/a，因此有： ae/be = √[(a^2 + b^2)/a^2 - 1] = √[(13/11)^2 - 1] = 4/3 解得 ae = 4a/5，be = 3b/5。 又因为双曲线的一条渐近线为 y = -√3x，可得另一条渐近线为 y = √3x。 双曲线的标准方程为：(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1 (2) 设双曲线上的点为 P(x1, y1)，直线 l 的斜率为 k，又设 l 与双曲线的交点为 Q(x2, y2)。 则直线 l 的方程为：y - y1 = k(x - x1)

答：直线 l 与直线 x = 1 的交点为 Q'(1, k + y1)。因此，有： k + y1 = √[(x1^2/a^2) - 1] × k + y1 解得：k = √(a^2/(x1^2 - a^2))。 又因为直线 l 与双曲线有且仅有一个交点，所以直线 l 必须与双曲线相切。 设直线 l 与双曲线的切点为 T(x3, y3)，则有： (x3^2/a^2) - (y3^2/b^2) = 1 y3 - y1 = k(x3 - x1)

答：消去 $k$，得到一个关于 $x^3$ 和 $y^3$ 的二元二次方程组。 该方程组有解的充分必要条件是其判别式等于零，即： $( \frac{a^2}{x_1^2 - a^2} ) \times ( \frac{b^2}{y_1^2 - b^2} ) = 1$ 将 $P(x_1, y_1)$ 的坐标代入上式，得到： $a^2b^2 = (4x_1^2 - 5a^2)(3y_1^2 - 5b^2)$ 又因为 $P$ 在第一象限，因此有 $x_1 > a$ 且 $y_1 > 0$。 代入上式，得到： $a^2b^2 = \frac{12a^2y_1^2}{5}$ 解得 $y_1 > \frac{ab}{\sqrt{3}}$。 因此，点 $P$ 位于以 $(a, \frac{ab}{\sqrt{3}})$ 为左顶点，以 $F_1、F_2$ 为焦点的双曲线上。

答：若存在点 $M$，使得 $PM \cdot QM = 0$ 恒成立， 则点 $M$ 为 $Q$ 点所在的直线的另一个交点， 即 $M$ 点在直线 $l$ 上，并且满足直线 $MQ$ 与双曲线 $C$ 相切。 因此，$M$ 点的坐标可以通过求解直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的交点来确定。 设直线 $l$ 的方程为 $y - y_1 = k(x - x_1)$， 将其代入双曲线的标准方程，得到一个关于 $x$ 和 $y$ 的二元二次方程。 该方程的解为： $x = \frac{a^2(ky_1 + x_1) \pm ab\sqrt{k^2 + 1}}{k^2a^2/b^2 + b^2}$ $y = \frac{k}{a}x - \frac{kx_1}{a} + y_1$

答：# 设直线 MQ 的斜率为 k2，其方程为 y - y3 = k2(x - x3)。 因为直线 MQ 与双曲线 C 相切，所以直线 MQ 与双曲线的切线斜率相同，即 k2 = -x3/√3y3。 将直线 MQ 的方程代入双曲线的标准方程，得到一个关于 x3 和 y3 的二元二次方程。 该方程的解为：x3 = a^2x1/(a^2 + b^2)y3 = ab/√3 因此，点 M 的坐标为 (x3, y3) = (a^2x1/(a^2 + b^2), ab/√3)。 综上所述，存在点 M，使得 PM·QM = 0 恒成立，且该点的坐标为 (a^2x1/(a^2 + b^2), ab/√3)。

问：可以手写一下过程吗

答：亲，您好，现在咨询的人数过多，我们是没办法手写的哦，给您带来不便，敬请谅解，谢谢！

问：简单写一下，图可以画一下吗，这种不好理解

问：不想要文字的解题过程，因为这样我不好理解，请老师可以写一下或者用图片的形式给我解释吗