Question

一堆零件中有一个次品,五次检测完,为什么这堆零件是81个

Answer 1

问：一堆零件中有一个次品,五次检测完,为什么这堆零件是81个

答：因为这是三次方数，即 $3^4=81$。这可以意味着检测过程是按照三个零件为一组进行的，每组中必须存在一个次品，共进行了五次检测。

答：假设这堆零件中有 $n$ 个零件，每次检测三个零件为一组，共进行了 $5$ 次检测。由于每组中必须存在一个次品，那么对于每组而言，至少有一个零件是次品。设 $a$ 表示有且仅有一个零件是次品的组数， $b$ 表示有两个零件是次品的组数， $c$ 表示有三个零件是次品的组数。由于每次检测三个零件，那么 $n$ 必须是 $3$ 的倍数，即 $n=3k$。则有以下数学关系式：$$a+b+c=5$$$$a+2b+3c=k$$$$b+2c\leq k$$其中第一个式子表示共进行了 $5$ 次检测；第二个式子表示次品数量的计算方式，$a$ 表示任意选一组必定有一个是次品，$b$ 表示任意选一组必定有两个是次品，$c$ 表示任意选一组必定有三个是次品，因此总共有 $k$ 个次品；第三个式子表示不存在超过一组同时出现两个或三个次品的情况。根据上述式子进行组合计算可得到 $a=4, b=1, c=0$，证明了至少存在一组检测中不存在次品的情况，即这组零件中有且仅有一个次品。因为 $n=3k$，所以 $k=5+2\times 1+3\times 0=7$，也就是说这堆零件中有 $7

答：根据上述式子进行组合计算可得到 $a=4, b=1, c=0$，证明了至少存在一组检测中不存在次品的情况，即这组零件中有且仅有一个次品。因为 $n=3k$，所以 $k=5+2\times 1+3\times 0=7$，也就是说这堆零件中有 $7$ 个次品。因为 $k$ 是 $3$ 的倍数，$7$ 不是三的倍数，所以这堆零件中共有 $3k=3\times 7=21$ 个零件。由于只有一个次品，所以这 $21$ 个零件中有 $20$ 个良品，加上那个次品，共有 $21$ 个零件，没有其他的次品，因此这堆零件共有 $21$ 个。又因为 $21$ 是 $3$ 的幂次方，即 $21=3^2\times 1$，所以每次检测中精好排列三个零件，共进行了 $5$ 次检测，共有 $81$ 个零件。

问：这是小学五年级数学题，您讲的太深奥了，不懂。

答：好吧，

问：为什么每组必须有一个次品

答：这可以意味着检测过程是按照三个零件为一组进行的，每组中必须存在一个次品，共进行了五次检测。

问：照这样检测五次最多检多少个商品？为什么？

答：每次检测三个商品，假设在每次检测中都恰好检出一个次品，则五次检测能够检出的最多次品数量为 $5$。由于每次检测包含 $3$ 个商品，所以五次检测最多能够检测的商品数量为 $5\times 3=15$。如果在五次检测中未能检出任何次品，那么这 $15$ 个商品都是良品，因此最多检测的商品数量为 $15$ 个。总之，无论如何，五次检测最多只能检测 $15$ 个商品，因为五次检测所能检测出的最多次品数量为 $5$，而一个检测组中必须存在至少一个次品。

问：最多检测多少个呀？

答：五次检测最多检测 $15$ 个商品，因为无论如何最多只能检测出 $5$ 个次品。然而，如果第一次检测就发现了一个次品，那么剩下的四次检测中最多只能检测 $12$ 个商品；如果前两次检测都发现了一个次品，那么剩下的三次检测中最多只能检测 $9$ 个商品。因此，实际最多检测的商品数量取决于前几次检测是否发现了次品。

问：这是小学五年级数学作业要求写出具体数字。最好您简要回答出让小学生能懂得的为什么？

答：$3^4=81$。

问：一堆物品中有一个次品，用天平至少称5次就能保证找出这个次品，这堆物品至少有81个，最多有多少个？为什么？您没回答。

答：最多有 $121$ 个物品。我们可以通过二分法来解决这个问题。首先我们将物品平均分成两堆，把两堆物品放在天平两端比较。如果天平平衡，说明次品不在这两堆物品中。我们可以选择任意一堆继续拆分，如果天平仍然平衡，继续拆分下去，直到天平失衡。一旦天平失衡，说明次品在这些物品中，此时我们只需要再进行一次称重即可找到次品。假设共有 $n$ 个物品，按照上述方法，我们可以找到一个 $k$，满足 $2^k \le n < 2^{k+1}$。也就是说，我们最多只需要 $k+1$ 次称重才能找到次品。根据题意，在至少进行 $5$ 次称重的保证下，得出 $k+1 \ge 5$，即 $k \ge 4$，解得 $n \le 2^5 = 32$。但由于题目中要求物品数最少为 $81$，因此最多有 $121$ 个物品。