Question

Z=(1+x^2+y^2)^xy求x的偏导

Answer 1

问：Z=(1+x^2+y^2)^xy求x的偏导

答：同学，您好 ，这道题可以这样子解 要求函数 Z=(1+x^2+y^2)^xy 对 x 的偏导数，我们需要使用链式法则和指数函数的求导法则。首先，将函数 Z=(1+x^2+y^2)^xy 进行自然对数的转换，可以得到 ln(Z) = xy ln(1+x^2+y^2)。接下来，对两边同时对 x 求导。使用链式法则，我们有：d[ln(Z)]/dx = d[xy ln(1+x^2+y^2)]/dx根据指数函数的求导法则，有 d[e^u]/dx = u' * e^u，其中 u 是关于 x 的函数。应用到上面的导数式子中，我们得到：d[ln(Z)]/dx = y ln(1+x^2+y^2) + xy(1+x^2+y^2)^(-1) * 2x最后，我们可以使用性质 d[ln(u)]/dx = u' / u，其中 u 是关于 x 的函数，将上式转化为对 Z 求导数：d[ln(Z)]/dx = (dZ/dx) / Z将上述结果代入该式，我们可以得到对 x 的偏导数：dZ/dx = Z * [y ln(1+x^2+y^2) + xy(1+x^2+y^2)^(-1) * 2x]即，dZ/dx = (1+x^2+y^2)^xy * [y ln(1+x^2+y^2) + 2xy/(1+x^2+y^2) * x]所以，函数 Z=(1+x^2+y^2)^xy 对 x 的偏导数为 (1+x^2+y^2)^xy * [y ln(1+x^2+y^2) + 2xy/(1+x^2+y^2) * x]。

问：d[ln(u)]/dx = u' / u 这个是什么性质呀

答：同学，您好 ，d[ln(u)]/dx = u' / u这个性质是对于一个函数 ln(u) 而言，其中 u 是关于 x 的函数。根据链式法则，我们可以将它写为：d[ln(u)]/dx = d[ln(u)]/du * du/dx由于 ln(u) 是一个复合函数，所以我们使用链式法则来求导。其中，d[ln(u)]/du 表示 ln(u) 对 u 的导数，而 du/dx 表示 u 对 x 的导数。根据 ln 函数的求导法则，我们知道 d[ln(u)]/du = 1/u。所以：d[ln(u)]/dx = 1/u * du/dx这就是性质 d[ln(u)]/dx = u' / u 的正确表达式，其中 u 是关于 x 的函数。