Question

f(x)=ln(3x-2)+ax,f(x)≤a/x恒成立,嗯,实数a的值为

Answer 1

问：f(x)=ln(3x-2)+ax,f(x)≤a/x恒成立,嗯,实数a的值为

答：首先，我们可以将不等式f(x)≤a/x写成等式形式：f(x) = a/x将f(x)的表达式带入不等式，得到：ln(3x-2) + ax ≤ a/x移项，整理后得到：ln(3x-2) ≤ a(1-1/x^2)由于对于任意正实数x，右侧的a(1-1/x^2)大于等于0，因此ln(3x-2)也必须大于等于0。解出3x-2>0，得到x>(2/3)。现在，我们来考虑f(x)在定义域上的单调性。对f(x)求导得：f'(x) = 3/(3x-2) + a因为f(x)的定义域为x>(2/3)，所以3x-2>0，即3/(3x-2)>0。又因为a是实数，所以当f'(x)=0时，有：3/(3x-2) + a = 0解得x=(a+2)/3。当x>(2/3)时，f'(x)随着x的增大而减小，因此f(x)单调递减。根据题意，f(x)≤a/x，所以：ln(3x-2) + ax ≤ a/x化简得到：(3-a)xln(3x-2) ≤ -ln(3x-2)当3x-2>e时，左侧为正，右侧为负，不成立。因此3x-2≤e。将x的取值范围限定为(2/3, e+2/3)，则f(x)的取值范围为：a/(e+2/3) ≤ f(x) ≤ a/(2/3)解得：a ≥ ln(e+2/3) ≈ 1.1074因此，实数a的值至少为ln(e+2/3)。