算二重积分+[(x+y+2)dxdy,+其中+D:x^2+y^22x+2y.
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首先，我们观察到积分区域D是一个由曲线$x^2 + y^2 = 2x + 2y$所围成的区域。
我们可以将这个积分区域D进行变换，将$x$和$y$分别表示为$x = 1 + r\cos\theta$和$y = 1 + r\sin\theta$，其中$r$和$\theta$分别是极坐标下的变量。
接下来，我们需要计算雅可比行列式的绝对值，即Jacobian。
$|Jacobian| = \left|\begin{matrix} \frac{dx}{dr} & \frac{dx}{d\theta} \\ \frac{dy}{dr} & \frac{dy}{d\theta} \end{matrix}\right|$
通过计算，可得到雅可比行列式的绝对值为$r$。
然后，将原始二重积分转换为极坐标下的积分形式：
$\int\int_{(D)} (x+y+2)dxdy = \int\int_{(D)} (1 + r\cos\theta + 1 + r\sin\theta + 2)rdrd\theta$
$= \int\int_{(D)} (2 + r\cos\theta + r\sin\theta)rdrd\theta$
接下来，确定极坐标下的积分范围。
在极坐标中，积分区域的曲线$x^2 + y^2 = 2x + 2y$可以写成$(r\cos\theta - 1)^2 + (r\sin\theta - 1)^2 = 2$。
因此，极坐标下的积分范围为：
咨询记录 · 回答于2023-12-26
算二重积分+[(x+y+2)dxdy,+其中+D:x^2+y^22x+2y.
首先，我们观察到积分区域D是一个由曲线$x^2 + y^2 = 2x + 2y$所围成的区域。
我们可以将这个积分区域D进行变换，将$x$和$y$分别表示为$x = 1 + r\cos\theta$和$y = 1 + r\sin\theta$，其中$r$和$\theta$分别是极坐标下的变量。
接下来，我们需要计算雅可比行列式的绝对值，即Jacobian。
$|Jacobian| = \left|\begin{matrix} \frac{dx}{dr} & \frac{dx}{d\theta} \\ \frac{dy}{dr} & \frac{dy}{d\theta} \end{matrix}\right|$
通过计算，可得到雅可比行列式的绝对值为$r$。
然后，将原始二重积分转换为极坐标下的积分形式：
$\int\int_{D}(x + y + 2)dxdy = \int\int_{D}(1 + r\cos\theta + 1 + r\sin\theta + 2)rdrd\theta = \int\int_{D}(2 + r\cos\theta + r\sin\theta)rdrd\theta$
接下来，确定极坐标下的积分范围。
在极坐标中，积分区域的曲线$x^2 + y^2 = 2x + 2y$可以写成$(r\cos\theta - 1)^2 + (r\sin\theta - 1)^2 = 2$。
因此，极坐标下的积分范围为：
r*cosθ - 1 ≥ 0
r*sinθ - 1 ≥ 0
(r*cosθ - 1)^2 + (r*sinθ - 1)^2 ≤ 2
化简后得到：
r ≥ 1/(cosθ + sinθ - 1)
r ≤ 1/(cosθ + sinθ + 1)
θ ∈ [0, 2π]
现在，将转换后的积分形式代入积分符号内进行计算：
∬[(2 + r*cosθ + r*sinθ)rdrdθ] = ∫[0, 2π]∫[1/(cosθ + sinθ + 1), 1/(cosθ + sinθ - 1)] [(2 + r*cosθ + r*sinθ)rdr]dθ
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