Question

求函数f(x,y)=x^3-4x^2+2xy-y^2+1的极值

Answer 1

问：求函数f(x,y)=x^3-4x^2+2xy-y^2+1的极值

答：**求函数f(x,y)=x^3-4x^2+2xy-y^2+1的极值：** 首先，我们需要求出函数的一阶偏导数： "f/"x = 3x^2 - 8x + 2y "f/"y = -2xy - 2y 然后，我们令两个偏导数都为0，解得： y = 0 或者 y = (3x^2-8x)/2 当 y=0 时，代入原函数得到 f(x,0)=x^3-4x^2，对应一个极小值点。 当 y=(3x^2-8x)/2 时，代入原函数得到： f(x,(3x^2-8x)/2)=-25/4+x^3-(9/4)x^4 对这个一元函数求导并令其等于0，可以得到它的驻点为：(1,5/6) 和 (-1,5/6) 将这两个点带回原函数计算可知，它们分别对应一个极大值和一个极小值。 因此，函数 f(x,y) 的极值为：一个极小值和一个极大值。其中极小值点为（任意实数，0），极大值点为(1,5/6)和(-1,5/6)。

答：关于函数求极值的方法 知识拓展： 1. 求函数f'(x)的极值步骤 a. 找到等式f'(x)=0的根。 b. 在等式的左右检查f'(x)值的符号。如果为负数，则f(x)在这个根得到最大值；如果为正数则f(x)在这个根得到最小值。 c. 判断f'(x)无意义的点。首先可以找到f'(x)=0的根和f'(x)的无意义点。这些点被称为极点，然后根据定义来判断。 2. 极值的判断方法 a. 判断导数：首先求出函数的导数，并找到导数为零的点，这些点可能是极值点。 b. 检查二阶导数：如果一阶导数在该点为零，则需要检查二阶导数。如果二阶导数在该点为正，则该点是一个极小值点；如果二阶导数在该点为负，则该点是一个极大值点。 c. 判断单调性：在极值点的左右两侧，函数的单调性会发生改变，可以根据这个性质来判断是否为极值点。