Question

已知 nZ, 证明: 5|n(4n^2-1)(16n^2-1).

Answer 1

问：已知 nZ, 证明: 5|n(4n^2-1)(16n^2-1).

答：亲亲，要证明5能整除n(4n^2-1)(16n^2-1)，可以考虑对n的奇偶性以及5的因子结构进行分析。首先，当n是5的倍数时，显然5能整除n，故n(4n^2-1)(16n^2-1)也能被5整除。其次，当n不是5的倍数时，根据模5意义下整除的判定可知，只需证明4n^2-1和16n^2-1中至少有一个数在模5意义下等于0即可。由于n不是5的倍数，所以模5意义下n的取值只可能是1、2、3或4。当n=1时，4n^2-1=3和16n^2-1=15都在模5意义下等于0，故结论成立。当n=2时，4n^2-1=15在模5意义下等于0，故结论成立。当n=3时，16n^2-1=143在模5意义下等于0，故结论成立。当n=4时，4n^2-1=63和16n^2-1=255都不在模5意义下等于0，但由于4和63、16和255均存在公因子4，所以可以化简为以下式子：n(4n^2-1)(16n^2-1) = n(4n-1)(4n+1)(16n-1)(16n+1) = 4(2n)(4n-1)(4n+1)(16n-1)(16n+1)由于2n、4n-1和4n+1中必有一个是3的倍数，而16n-1和16n+1中必有一个是5的倍数，因此上式一定能被5整除，故结论在这种情况下也成立。综上所述，无论n取何值，都有n(4n^2-1)(16n^2-1)能被5整除，证毕。