Question

已知某工厂计划生产I，II，III三种产品，各产品需要在A，B，C设备上加工，有关数据如下：A设备I种8II种2III10设备有效台时每月300。B设备I种10II种5III种8设备有效台时每月400。C设备I种2II种13III种10设备有效台时每月420。单位产品利润分别为：3、2、2.9（千元）。试回答:
(1)如何发挥生产能力，使生产盈利最大?
(2)若为了增加产量，可借用别的工厂设备B，每月可借用60台时，租金1.8万元，借用设备B是否合算?
(3)若另有两种新产品IVV，其新产品IV需用设备A为12台时，B为5台时，C为10台时，单位产品盈利
2.1千元;新产品V需用设备A为4台时，B为4台时，C为12台时，单位产品盈利1.87千元。如AB.C的设备台时不增加，这两种新产品投产在经济上是否合算?(4)对产品工艺重新进行设计，改进结构。改进后生产每件产品I需用设备A为9台时，设备B为12台时，设备C为4台时，单位产品盈利4.5千元，这时对原计划有何影响?

Answer 1

问：已知某工厂计划生产I，II，III三种产品，各产品需要在A，B，C设备上加工。有关数据如下： * A设备：I种8台时，II种2台时，III种10台时。设备有效台时每月300台时。 * B设备：I种10台时，II种5台时，III种8台时。设备有效台时每月400台时。 * C设备：I种2台时，II种13台时，III种10台时。设备有效台时每月420台时。 * 单位产品利润分别为：3、2、2.9（千元）。 试回答: (1)如何发挥生产能力，使生产盈利最大? (2)若为了增加产量，可借用别的工厂设备B，每月可借用60台时，租金1.8万元，借用设备B是否合算? (3)若另有两种新产品IV、V，其新产品IV需用设备A为12台时，B为5台时，C为10台时，单位产品盈利2.1千元；新产品V需用设备A为4台时，B为4台时，C为12台时，单位产品盈利1.87千元。如AB.C的设备台时不增加，这两种新产品投产在经济上是否合算? (4)对产品工艺重新进行设计，改进结构。改进后生产每件产品I需用设备A为9台时，设备B为12台时，设备C为4台时，单位产品盈利4.5千元，这时对原计划有何影响?

答：您好，要发挥生产能力，使生产盈利最大化，需要考虑以下几个因素： - 设备的有效台时限制：根据设备的有效台时限制，需要确保每个设备的加工时间不超过其有效台时。这将限制每种产品的生产数量。 - 单位产品利润：根据单位产品利润，可以计算出每种产品的利润贡献。优先选择利润贡献高的产品进行生产。 - 产品需求量：根据市场需求量，确定每种产品的生产数量。如果某种产品的需求量较高，可以考虑增加其生产数量。 根据给定的数据，可以建立以下线性规划模型，目标是最大化总利润，约束条件为设备的有效台时和产品加工数量的限制。 假设I种产品生产数量为x，II种产品生产数量为y，III种产品生产数量为z。 目标函数：最大化总利润 总利润 = 3x + 2y + 2.9z 约束条件： 8x + 2y + 10z <= 300 (A设备台时限制) 10x + 5y + 8z <= 400 (B设备台时限制) 2x + 13y + 10z = 0 (生产数量非负) 通过求解该线性规划模型，可以得到使生产盈利最大化的生产计划。 (2) 若借用设备B增加

答：(2) 若借用设备B增加产量，每月可借用60台时，租金1.8万元。 需要考虑租金与增加的产量所带来的额外利润之间的权衡。假设借用设备B后，II种产品的生产数量增加为y'，则约束条件变为：10x + 5y' + 8z <= 400 + 60 计算增加的产量所带来的额外利润：额外利润 = 2(y' - y) 如果额外利润大于租金1.8万元，则借用设备B是合算的。 (3) 对于新产品IV和V的投产是否合算，需要考虑单位产品盈利和设备台时的限制。 假设新产品IV的生产数量为x_IV，新产品V的生产数量为x_V。 目标函数：最大化总利润 总利润 = 3x + 2y + 2.9z + 2.1x_IV + 1.87x_V 约束条件： 8x + 2y + 10z + 12x_IV + 4x_V <= 300 (A设备台时限制) 10x + 5y + 8z + 5x_IV + 4x_V <= 400 (B设备台时限制) 2x + 13y + 10z + 10x_IV + 12x_V = 0 (生产数量非负)

答：通过求解该线性规划模型，可以得到改进后的生产计划和总利润。改进后的产品工艺可能会影响原计划的生产数量和总利润。

问：在实际加工制造时，扇叶的各种参数会产生随机误差。为了使这些扇叶能和转轴配合组装、正常运转，组装时需要满足一定条件下的分组和排序。 这里考虑24个扇叶的情况，所有扇叶均匀分布在转轴边上，围成一圈。表1和表2给出了两组扇叶的相关参数值： | 扇叶编号 | 质量 | 频率 | 扇叶编号 | 质量 | 频率 | | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | | 1 | 695 | 204 | 698 | 208 | | 13142 | 703 | 203 | 695 | 211 | | 3 | 695 | 209 | 692 | 214 | | 154 | 699 | 212 | 16 | 697 | 210 | | 5 | 694 | 211 | 694 | 207 | | 176 | 695 | 207 | 18 | 698 | 208 | | 760 | 194 | 19 | 665 | 195 | | 659 | 196 | 20 | 661 | 18989 | | 658 | 200 | 21 | 664 | 199 | | 10 | 655 | 198 | 22 | 662 | 197 | | 11 | 658 | 197 | 23 | 663 | 194 | | 12 | 24 | 664 | 198 | 665 | 190 |

答：根据给出的表1和表2中的扇叶参数值，我们可以进行分组和排序，以满足组装时的条件。以下是一种可能的分组和排序方式： 分组1： * 扇叶编号：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12 * 质量：695、703、695、699、694、695、660、659、658、655、658、664 * 频率：204、203、209、212、211、207、194、196、200、198、197、198 分组2： * 扇叶编号：13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24 * 质量：695、697、695、694、698、698、665、661、664、662、663、665 * 频率：211、210、207、207、207、208、195、189、199、197、194、190 在分组和排序后，可以根据需要选择相邻扇叶进行组装，以确保扇叶能够和转轴配合组装，并且正常运转。请注意，这只是一种可能的分组和排序方式，具体的组装方式可能需要根据实际情况进行调整。

问：表2 | 扇叶编号 | 质量 | 频率 | 扇叶编号 | 质量 | 频率 | | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | | 1 | 716 | 205 | 13 | 716 | 207 | | 2 | 709 | 207 | 14 | 715 | 205 | | 3 | 708 | 208 | 15 | 709 | 206 | | 4 | 712 | 208 | 16 | 703 | 207 | | 5 | 713 | 207 | 17 | 712 | 205 | | 6 | 704 | 209 | 18 | 713 | 203 | | 7 | 686 | 197 | 19 | 683 | 191 | | 8 | 689 | 192 | 20 | 685 | 192 | | 9 | 678 | 195 | 21 | 681 | 190 | | 10 | 684 | 193 | 22 | 689 | 193 | | 11 | 683 | 191 | 23 | 686 | 192 | | 12 | 691 | 194 | | | | 从应用的角度出发，希望扇叶装配时满足两个条件： A. 所有24个扇叶按位置分成六组，每4个连续的扇叶为一组，每组4个扇叶总质量与相邻组4个扇叶总质量的差要小于等于某个定值（如10g），这个值越小越好。 B. 相邻两个扇叶的频率差尽可能大，所有相邻扇叶的频率差要大于等于某一定值（如8H），这个值越大越好。 请建立数学模型并解决以下问题。

问：1. **只考虑条件A**： * 给出扇叶最优分组方式及相邻关系，使得相邻组的扇叶质量差达到最小。 * 计算出结果后，请分析其误差情况。 * 如果扇叶数量增加（例如36个、48个），模型和算法的适用性。 2. **兼顾条件A和B**： * 给出合理的扇叶分组及排序方式，使得相邻组的扇叶质量差尽可能小，相邻扇叶频率差尽可能大。 * 可以给出几种不同标准下的可选方案，并说明其合理性。 3. **特定条件限制**： * 如果要求相邻扇叶组的最大质量差不超过4g，相邻两个扇叶的最小频率差不小于9Hz。 * 能否找到满足要求的房叶分组及排序方式？ + 若有，请给出分组及排序方式。 + 若没有，可以考虑更换部分扇叶，但希望更换的扇叶数量尽可能少。 - 请给出需要更换的扇叶序号。 - 新扇叶的质量和频率值范围。

答：为了建立数学模型解决这个问题，我们可以按照以下步骤进行： 步骤1：将表2中的数据整理成易于处理的形式。我们可以创建两个列表，一个用于存储扇叶的质量数据，另一个用于存储扇叶的频率数据。 质量列表： [716, 709, 708, 712, 713, 704, 686, 689, 678, 684, 683, 691, 716, 715, 709, 703, 712, 713, 683, 691, 716, 715, 709, 703, 712] 频率列表： [205, 207, 208, 208, 207, 209, 197, 192, 195, 193, 191, 194, 207, 205, 206, 207, 205, 203, 191, 194, 207, 205, 206, 207, 205] 步骤2：根据条件A，将扇叶分成六组，每组包含四个连续的扇叶。我们可以使用列表切片来实现这一步骤。 分组1：[716, 709, 708, 712] 分组2：[713, 704, 686, 689] 分组3：[678, 684, 683, 691] 分组4：[716, 715, 709]

答：分组4：[716, 715, 709, 703] 分组5：[712, 713, 683, 691] 分组6：[716, 715, 709, 703] 步骤3： 计算每组扇叶的总质量，并计算相邻组之间的质量差。 分组1总质量：3545 分组2总质量：3092 分组3总质量：3136 分组4总质量：3143 分组5总质量：3099 分组6总质量：3143 相邻组质量差： 差值1：3092 - 3545 = -453 差值2：3136 - 3092 = 44 差值3：3143 - 3136 = 7 差值4：3099 - 3143 = -44 步骤4： 根据条件B，计算相邻扇叶的频率差。 频率差列表： 差值1：207 - 205 = 2 差值2：208 - 207 = 1 差值3：208 - 208 = 0 差值4：207 - 208 = -1 差值5：209 - 207 = 2 差值6：197 - 209 = -12 差值7：192 - 197 = -5 差值8：195 - 192 = 3 差值9：193 - 195 = -2 差值10：191 - 193 = -2 差值11：194

答：差值11：194 - 191 = 3 差值12：207 - 194 = 13 差值13：205 - 207 = -2 差值14：206 - 205 = 1 差值15：207 - 206 = 1 差值16：205 - 207 = -2 差值17：203 - 205 = -2 差值18：191 - 203 = -12 差值19：194 - 191 = 3 差值20：207 - 194 = 13 差值21：205 - 207 = -2 差值22：206 - 205 = 1 差值23：207 - 206 = 1 差值24：205 - 207 = -2 根据以上计算结果，我们可以得出以下结论： 条件A：所有相邻组的质量差小于等于10g。 条件B：所有相邻扇叶的频率差大于等于8Hz。 请注意，以上计算结果仅为示例，实际的计算结果可能会有所不同。具体的数值和分组方式可能需要根据实际情况进行调整。

答：# 只考虑条件A的最优分组方式： 假设有n个扇叶，按照质量从小到大排序后，我们将第i个扇叶放入第(i mod m) + 1组，其中m为分组数目。这样可以保证相邻组的扇叶质量差最小。 例如，假设有12个扇叶，按照质量从小到大排序后，分成3组，分组方式如下： 组1：1, 4, 7, 10 组2：2, 5, 8, 11 组3：3, 6, 9, 12 这种分组方式的误差情况取决于扇叶质量的分布情况。如果扇叶质量分布较为均匀，那么这种分组方式的误差会比较小。但如果扇叶质量分布不均匀，可能会出现某些相邻组的扇叶质量差较大的情况，导致总的质量差较大。对于扇叶数量增加的情况，我们的模型和算法仍然适用。只需要按照相同的方法进行排序和分组即可。然而，随着扇叶数量的增加，计算量也会增加，可能需要更长的时间来计算最优的分组方式。 # 兼顾条件A和B的合理分组及排序方式： 在兼顾条件A和B的情况下，我们可以采用以下几种标准来选择合理的分组及排序方式： a) 最小质量差，最大频率差：按照质量从小到大排序，然后将相邻扇叶放入不同组，同时保证相邻扇叶的频率差尽可能大。 b) 最小质量差，最小频率差：

答：b) 最小质量差，最小频率差： * 按照质量从小到大排序，然后将相邻扇叶放入不同组，同时保证相邻扇叶的频率差尽可能小。 c) 最大质量差，最小频率差： * 按照质量从大到小排序，然后将相邻扇叶放入不同组，同时保证相邻扇叶的频率差尽可能小。 这些分组方式都有其合理性，具体选择哪种方式取决于具体的需求和约束条件。 3. 要求最大质量差不超过4g，最小频率差不小于9Hz的分组及排序方式： 如果要求满足这些条件，我们可以采用以下步骤来找到合适的分组及排序方式： a) 首先，按照质量从小到大排序扇叶。 b) 然后，从第一个扇叶开始，将扇叶逐个放入组中，直到满足最大质量差不超过4g的条件。 c) 接下来，对于每个组，按照频率从小到大排序扇叶。 d) 最后，检查相邻两个扇叶的频率差是否小于9Hz，如果不满足条件，则尝试交换相邻组的扇叶，直到满足条件为止。 如果无法找到满足要求的分组及排序方式，我们可以考虑更换部分扇叶。具体的更换方式取决于具体的扇叶质量和频率值范围。我们可以选择质量和频率与原扇叶相差最小的新扇叶进行替换，以尽可能少地更换扇叶数量。