y"-xy'+1=0的通解"
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咨询记录 · 回答于2023-06-30
y"-xy'+1=0的通解"
亲，你好
！为您找寻的答案：首先，我们先将方程重写为标准形式：y'' - xy' + 1 = 0这是一个二阶非齐次线性微分方程。为了求解它的通解，我们可以使用常系数变易法。假设 y = uv，其中 u 是关于 x 的函数，v 是关于 x 的函数。现在，我们来计算 y' 和 y''：y' = u'v + uv'y'' = u''v + 2u'v' + uv''将上述结果代入原方程，得到：u''v + 2u'v' + uv' - x(u'v + uv') + 1 = 0化简上式，得到：u''v + 2u'v' + uv' - xu'v - xuv' + 1 = 0整理后，可得：(u'' - xu' + 1)v + (2u' - xu)v' = 0由于 v 不为零，所以上式中括号内的表达式必须为零，即：u'' - xu' + 1 = 0 (1)2u' - xu = 0 (2)首先，解方程 (2) 可得：2u' - xu = 02u' = xuu' / u = x / 2ln|u| = x^2 / 4 + C1u = Ce^(x^2 / 4)其中，C 和 C1 是常数。然后，将 u 的解代入方程 (1) 可得：(Ce^(x^2 / 4))'' - x(Ce^(x^2 / 4))' + 1 = 0Ce^(x^2 / 4) (x^2 / 16 + 1) - xCe^(x^2 / 4) + 1 = 0Ce^(x^2 / 4) (x^2 / 16 + 1 - x) + 1 = 0因此，我们可以得到通解 y = uv：y = Ce^(x^2 / 4) * v其中 v 是满足方程 (x^2 / 16 + 1 - x)v + 1 = 0 的解。
！为您找寻的答案：首先，我们先将方程重写为标准形式：y'' - xy' + 1 = 0这是一个二阶非齐次线性微分方程。为了求解它的通解，我们可以使用常系数变易法。假设 y = uv，其中 u 是关于 x 的函数，v 是关于 x 的函数。现在，我们来计算 y' 和 y''：y' = u'v + uv'y'' = u''v + 2u'v' + uv''将上述结果代入原方程，得到：u''v + 2u'v' + uv' - x(u'v + uv') + 1 = 0化简上式，得到：u''v + 2u'v' + uv' - xu'v - xuv' + 1 = 0整理后，可得：(u'' - xu' + 1)v + (2u' - xu)v' = 0由于 v 不为零，所以上式中括号内的表达式必须为零，即：u'' - xu' + 1 = 0 (1)2u' - xu = 0 (2)首先，解方程 (2) 可得：2u' - xu = 02u' = xuu' / u = x / 2ln|u| = x^2 / 4 + C1u = Ce^(x^2 / 4)其中，C 和 C1 是常数。然后，将 u 的解代入方程 (1) 可得：(Ce^(x^2 / 4))'' - x(Ce^(x^2 / 4))' + 1 = 0Ce^(x^2 / 4) (x^2 / 16 + 1) - xCe^(x^2 / 4) + 1 = 0Ce^(x^2 / 4) (x^2 / 16 + 1 - x) + 1 = 0因此，我们可以得到通解 y = uv：y = Ce^(x^2 / 4) * v其中 v 是满足方程 (x^2 / 16 + 1 - x)v + 1 = 0 的解。
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