Question

一道数学题，谢谢大家帮着解答，我会提高悬赏的~~~

如图，在锐角三角形ABC，AB=4(根号下二)，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于D，M、N分别是AD、AB上的动点，求BM+MN的最小值

Answer 1

读题后，整理条件可以发现
主要原理 两点之间线段最短 ，点到直线垂线段最短。
主要思路 将BM+MN 等价于一条直线段 。

解： 在AC边上找一点E使得AE=AN ，连接EM. （重点）
因为 AD 是∠BAC的角平分线
所以 ME=MN （相当于把N点移到E点 来求解）
求BM+MN最小值即求BM+ME的最小值
因为M, N 分别是AD, AB上的动点
所以 过B点做AC的垂线 交AC于F点（重点），BF即为BM+ME的最小值，也就是BM+MN的最小值
又 AB=4(根号下二) ∠BAC=45° ∠BFA=90°
所以 BF=AB=4
即BM+MN的最小值为4 。
（由于回答不能加图片，所以文字描述有点繁琐，希望对你有帮助）

Answer 2

先把M当作定点，则当MN最小时MN⊥AB
设ME⊥AC
∵AD为∠BAC的平分线
∴ME=MN
在△BME中，若要BM+ME最小，则B、M、E在同一直线上
∴BE⊥AC
又∵∠BAC=45° AB=4√2
∴BE=4 即BM+MN的最小值为4

Answer 3

顶楼上

Answer 4

在锐角三角形ABC，AB=4√2，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于D，M、N分别是AD、AB上的动点，求BM+MN的最小值
解：∵△ABC是锐角三角形，A=45°，∴45°<C<90°.
过B作BB₁⊥AD交AC或其延长线于B₁，再过B₁作B₁N⊥AB交AB于N，交AD于M，此时
NB₁=B₁M+MN=BM+MN=AB₁sin45°=ABsin45°=(4√2)(√2/2)=4，这就是BM+MN的最小值。
∵AD是角平分线，BB₁⊥AD，∴AB₁=AB=4√2，AD是BB₁的中垂线，M是中垂线上的点，故B₁M=BM。
下面证明4是BM+MN的最小值。
在AD上任取一点M₁，M₁异于作图所定的M；再在AB上任取一点N₁，N₁异于N，那么BM₁+M₁N₁=B₁M₁+M₁N₁>B₁N₁(三角形两边之和大于第三边)>NB₁(斜边大于直角边)=4，故证。