Question

在非钝三角形ABC中，a^2+b^2+c^2=2,求a*cosC+b*cosA+c*cosB的最大值

在非钝三角形ABC中，a^2+b^2+c^2=2,求a*cosC+b*cosA+c*cosB的最大值

经尝试，可能似乎也许大概在1/2 ， 根号3/2 ，1的三角形中最大，为5/4，

Answer 1

首先，利用三角恒等式(可另证):
cos²A+cos²B+cos²C
=3/2-2cosAcosBcosC
非钝角三角形ABC中，
cosA、cosB、cosC中只要有一个为0，
则cos²A+cos²B+cos²C取得最大值3/2.
其次，利用Cauchy不等式得
(a·cosC+b·cosA+c·cosB)²
≤(a²+b²+c²)(cos²C+cos²A+cos²B)
≤2·3/2
=3，
故知，所求最大值为√3。

追问

cos²A+cos²B+cos²C
=3/2-2cosAcosBcosC 如何证得？

Answer 2

直接用余弦定理代入算算。