一道初等数论题求解
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初等数论题怎么解?
对于任意的素数 p , 若 p|\gcd(a^{2^m}+1, a^{2^n}+1) ,则有
a^{2^m}\equiv a^{2^n}\equiv -1 \mod p 。
（为排版美观起见，下文的所有同余运算符 \equiv 除特殊说明外均表示模 p 意义下的同余）
显然 p\not| a
不妨设 m>n 则有 2^m-2^n=(2^{m-n}-1)\cdot 2^n 。
令 k= 2^{m-n}-1 是一个奇数。
注意到 a^{2^m}=(a^{2^m-2^n}-1)a^{2^n}\equiv a^{2^n} 且 p\not|a^{2^n} 所以 a^{2^m-2^n}\equiv 1 , 即
a^{k\cdot2^n}\equiv 1
咨询记录 · 回答于2022-05-05
一道初等数论题求解
你好
你好
初等数论题怎么解?对于任意的素数 p , 若 p|\gcd(a^{2^m}+1, a^{2^n}+1) ,则有a^{2^m}\equiv a^{2^n}\equiv -1 \mod p 。（为排版美观起见，下文的所有同余运算符 \equiv 除特殊说明外均表示模 p 意义下的同余）显然 p\not| a不妨设 m>n 则有 2^m-2^n=(2^{m-n}-1)\cdot 2^n 。令 k= 2^{m-n}-1 是一个奇数。注意到 a^{2^m}=(a^{2^m-2^n}-1)a^{2^n}\equiv a^{2^n} 且 p\not|a^{2^n} 所以 a^{2^m-2^n}\equiv 1 , 即a^{k\cdot2^n}\equiv 1
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