18.已知三角形ABC中角A,B,C对应的边分别是a,b,c,已知（1-sinC)(1-cos2B)=sin2BcosC，a=2c=2
(1)证明C=2B-90度
（2）求三角形ABC的面积
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您好亲亲~~(1) 由题意得：(1-sinC)(1-cos2B) = sin2BcosC其中，sin2B=2sinBcosB，cos2B=2cos^2B-1代入上式可得：(1-sinC)(1-2cos^2B+1) = 2sinBcosBcosC(2cos^2B-sinC)(2sinBcosBcosC) = 0当2cos^2B-sinC=0时，即可得C=2B-90°。(2) 由已知a=2c，得c=a/2，并且a=2c代入正弦定理可得：sinB/sinC=2又由(1-sinC)(1-cos2B)=sin2BcosC，可得(1-sinC)(1-2cos^2B+1)=2sinBcosBcosC(2cos^2B-sinC)(2sinBcosBcosC)=0当C=2B-90度时，2sinBcosBcosC=2sinBcos2B=2sinB(2cos^2B-1)=-4sinB(sin^2B-1/2)代入上式得：(2cos^2B-sinC)(-4sinB(sin^2B-1/2))=0即(2cos^2B-sinC)^2 = 16sin^2B(1/2-sin^2B)化简可得cos^4B+cos^2Bsin^2B-2cos^2B+2cos^2BsinCsinB-1/16sin^2B=0又由面积公式S=1/2absinC=1/2bcsinA代入a=2c，得S=2b^2sinB利用余弦定理将cosC表示出来cosC=(a^2+b^2-c^2)/2abcosC=1/2代入sinC的平方表达式可得sinC=√(3)/2代入cosB和sinB的平方和为1的表达式可得cosB=1/√10，sinB=3/√10将cosB和sinB代入cos^4B+cos^2Bsin^2B-2cos^2B+2cos^2BsinCsinB-1/16sin^2B=0，得9-176λ+625λ^2=0其中λ=sin^2B，解得λ=9/25再代入sinB和cosB中可得cosB=3/5，sinB=4/5最后代入S=2b^2sinB中得S=24.
咨询记录 · 回答于2023-03-20
（2）求三角形ABC的面积
18.已知三角形ABC中角A,B,C对应的边分别是a,b,c,已知（1-sinC)(1-cos2B)=sin2BcosC，a=2c=2
(1)证明C=2B-90度
18.已知三角形ABC中角A,B,C对应的边分别是a,b,c,已知（1-sinC)(1-cos2B)=sin2BcosC，a=2c=2
（2）求三角形ABC的面积
(1)证明C=2B-90度
18.已知三角形ABC中角A,B,C对应的边分别是a,b,c,已知（1-sinC)(1-cos2B)=sin2BcosC，a=2c=2
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