Question

小明在做两位数乘两位数时,忘记添上后面的一个0了,算出的积比正确的积少774

Answer 1

问：小明在做两位数乘两位数时,忘记添上后面的一个0了,算出的积比正确的积少774

答：假设小明算出的两个两位数分别为 $a$ 和 $b$，正确的积为 $ab$。由于小明忘记添上后面的一个 $0$，因此他算出的积为 $10a+b$。根据题意，有：10�+�=��−77410a+b=ab−774移项整理得：��−10�−�=774ab−10a−b=774因为 $a$ 和 $b$ 都是两位数，所以 $ab$ 最小为 $10\times10=100$，最大为 $99\times99=9801$。我们可以列出 $ab-10a-b$ 的取值范围：\begin{aligned} 100-10\times1-0&=90\ 200-10\times2-0&=180\ \vdots\ 9800-10\times98-0&=784\ 9801-10\times98-1&=783 \end{aligned}可以发现，$ab-10a-b$ 的取值范围只有 $90$ 到 $783$。因此，我们只需要枚举这个取值范围中的每一个数，判断是否满足上面的等式即可。经过计算，我们可以发现，当 $a=27$，$b=42$ 时，等式成立，即：10�+�=27410a+b=274��−774=274ab−774=274因此，小明算出的两个数分别为 $27$ 和 $42$。

答：设小明算的两个两位数分别为 $a$ 和 $b$，正确的积为 $c$，则题目所述可以表示为：$(10a+b)\times 10c = 10ab\times c - 774$将 $774$ 分解质因数得到 $774 = 2 \times 3 \times 7 \times 37$。因为 $10c$ 的个位数是 $0$，所以 $c$ 的个位数是 $4$。又因为 $10ab \times c$ 的个位数为 $0$，所以 $10a+b$ 的个位数是 $8$。并且 $a$ 不等于 $0$，否则无法满足 $10ab \times c$ 的个位数为 $0$。所以 $10a+b$ 的个位数为 $8$，$a$ 可以是 $1$ 或 $2$。当 $a=1$ 时，$10a+b$ 可以是 $18$，$28$，$38$，$48$，$58$，$68$，$78$，$98$ 中的一个，代入上式可以得到：$180c = 10\times 1 \times b \times c - 774$$10b\times c = 774 + 180c$可以发现当 $c=4$ 时，等式右边是 $1074$ 的倍数，因此 $c=4$。代入上式可以得到：$10b = 1074 + 180\times 4 = 1334$但是 $10b$ 是一个两位数，因此无解。当 $a=2$ 时，$10a+b$ 可以是 $28$，$38$，$48$，$58$，$68$，$78$ 中的一个，代入上式可以得到：$280c = 10\times 2 \times b \times c - 774$$20b\times c = 774 + 280c$可以发现当 $c=4$ 时，等式右边是 $954$ 的倍数，因此 $c=4$。代入上式可以得到：$20b = 954 + 280\times 4 = 2074$因此 $b=103$，但是 $b$ 必须是一个两位数，因此无解。因此小明的算错是无解的。