Question

已知f(x)在[0,1]上是连续函数，当x为有理数时f(x) ＝1证明x为实数时在整个区间内恒等于1

Answer 1

问：已知f(x)在[0,1]上是连续函数，当x为有理数时f(x) ＝1证明x为实数时在整个区间内恒等于1

问：与有理数无理数稠密性有关

答：亲亲您好已知f(x)在[0,1]上是连续函数，当x为有理数时f(x) ＝1证明x为实数时在整个区间内恒等于1是假设f(x)在区间[0,1]上是连续函数，且当x为有理数时，f(x)等于1。根据连续性定理，如果一个函数在一个区间上连续，那么在该区间上任意两个点之间都存在一个实数c，使得函数在c处取得极值。根据整数分割定理，我们可以将区间[0,1]分割为若干个子区间，每个子区间的端点都是有理数

答：亲亲已知f(x)在[0,1]上是连续函数综上所说因此，我们可以将区间[0,1]分割为若干个子区间，每个子区间都满足：f(x)在该子区间上连续，且当x为有理数时，f(x)等于1。由于 f(x)在区间 [0,1]上是连续的，所以当 x为实数时，f(x)在整个区间内也是连续的。因为在 x为有理数时 f(x)恒等于 1，所以当 x 为实数时，f(x)恒等于 1。