Question

∫[(x-sinx)cosx]d(x-sinx)

Answer 1

问：∫[(x-sinx)cosx]d(x-sinx)

答：亲，很高兴为您解答。观察被积函数的形式，发现它是一个乘积，可以尝试使用分部积分法。设 $u = x - \sin x$，$dv = \cos x dx$，则 $du = (1 - \cos x)dx$，$v = \sin x$。则原积分可以化为：$$\begin{aligned}\int (x - \sin x)\cos x d(x - \sin x) &= -\int u dv \\&= -uv + \int v du \\&= - (x - \sin x)\sin x + \int \sin x (1 - \cos x) dx \\&= - (x - \sin x)\sin x + \int (\sin x - \sin x \cos x) dx \\&= - (x - \sin x)\sin x + (\cos x - \frac{1}{2}\sin 2x) + C\end{aligned}$$所以，原积分的结果为 $-(x-\sin x)\sin x + (\cos x - \frac{1}{2}\sin 2x) + C$，其中 $C$ 为常数。

答：亲，还可以这样解。让u = x - sinx，du = (1-cosx)dx。∫[(x-sinx)cosx]d(x-sinx) = ∫u cos(x-sin(x))du这个积分看起来很困难，但可以使用用复合函数积分法。记f(u) = u，g'(u) = cos(x-sin(x))。则∫u cos(x-sin(x))du = u sin(x-sin(x)) + ∫sin(x-sin(x))du= u sin(x-sin(x)) - cos(x-sin(x)) + C把原来的变量x代回去，得到结果：∫[(x-sinx)cosx]d(x-sinx) = (x-sinx)sin(x-sinx) - cos(x-sin(x)) + C