Question

(8)已知二次函数f(x),对任意的xR,有+f(2x)<2f(x)+,则f(x)的图象可能是()

Answer 1

问：(8)已知二次函数f(x),对任意的xR,有+f(2x)<2f(x)+,则f(x)的图象可能是()

答：亲 您好，根据您所描述的问题：已知二次函数f(x),对任意的xR,有+f(2x)<2f(x)+,则f(x)的图象可能是()

答：根据题意，对于任意实数 x，都有 f(2x) < 2f(x) + C，其中 C 是某个常数。因为 f(x) 是二次函数，所以可以写成 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a, b, c 都是实数且 a ≠ 0。将 2x 代入上式，得到 f(2x) = 4a x^2 + 2b x + c。将 x 代入上式，得到 f(x) = ax^2 + bx + c。将上述两个式子代入原不等式，得到：4a x^2 + 2b x + c 2(ax^2 + bx + c) + C化简后得到：(2a x^2 - 2b x + C - c) > 0这是一个开口朝上的二次函数，所以 f(x) 的图象可能是一个开口朝上的二次函数。

问：a小于0不就是开口向下了？

答：您是正确的，当且仅当 a < 0 时，二次函数 f(x) 的图象才是开口朝下的，因为此时二次项系数 a 是负数。因此，如果题目中已知 a < 0，那么 f(x) 的图象可能是一个开口朝下的二次函数。感谢您的指正！

问：那a就不能大于0了？

答：对的，如果二次函数 f(x) 的二次项系数 a 大于 0，那么它的图象就是开口朝上的。所以如果题目中给定了 a > 0，则 f(x) 的图象只可能是一个开口朝上的二次函数。

问：所以请问这个到底向上向下

问：你到底会不会做

答：如果题目中未给出二次项系数 a 的符号，则需要根据已知条件进行推导。根据题目所给出的不等式 f(2x) < 2f(x) + C，可以得到：4a x^2 + 2b x + c 2(ax^2 + bx + c) + C化简后得到：(2a x^2 - 2b x + C - c) > 0这个不等式左侧是一个关于 x 的二次函数，如果这个二次函数的二次项系数 a 大于 0，则这个二次函数的图像开口向上；如果 a 小于 0，则图像开口向下。因此，二次函数 f(x) 的图像可能是一个开口向上或者开口向下的二次函数，具体是哪种需要根据已知条件进一步推导。