Question

14.若P,Q分别是抛物线 x^2=y 与圆 (x-3)^2+y^2=1 上的点,则|PQ|的最小值-|||-

Answer 1

问：14.若P,Q分别是抛物线 x^2=y 与圆 (x-3)^2+y^2=1 上的点,则|PQ|的最小值-|||-

答：亲亲可以看看原题吗

答：首先，我们可以求出抛物线和圆的方程式为：抛物线 x² = y圆 (x-3)² + y² = 1现在我们需要求抛物线和圆上的两个点 P 和 Q，并计算它们之间的距离 |PQ|。由抛物线方程式 x² = y，可得当 y = x² 时，对应的 x 坐标为 x。因此，抛物线上的点 P 的坐标为 (x, x²)。接下来，我们需要求圆上的点 Q 的坐标。将圆的方程式展开，有：(x-3)² + y² = 1将 y = x² 带入上式，有：(x-3)² + x⁴ = 1将该方程式展开，有：x⁴ - 6x² + 8 = 0将该方程式看作关于 x² 的一元二次方程，有：x² = (6 ± √16) / 2 = 3 ± 2因此，x² 的值为 1 或 5。当 x² = 1 时，有：(x-3)² + y² = 1(1-3)² + y² = 1y = ±√3因此，圆上的点 Q 的坐标可以取为 (2, √3) 或 (2, -√3)。当 x² = 5 时，有：(x-3)² + y² = 1(5-3)² + y² = 1y = ±√(-21)

答：由于要求距离的最小值，因此我们可以通过计算两个可能的点 P 和 Q 之间的距离来确定最小值。当 P 取 (1, 1) 时，与 P 最近的 Q 为 (2, √3)。因此，此时 |PQ| 的值为：|PQ| = √[(2-1)² + (√3-1)²] = √[(2-1)² + (1-√3)²]当 P 取 (1, 1) 时，与 P 最近的 Q 为 (2, -√3)。因此，此时 |PQ| 的值为：|PQ| = √[(2-1)² + (-√3-1)²] = √[(2-1)² + (1+√3)²]比较这两个值，可以发现 |PQ| 的最小值为：|PQ| = √[(2-1)² + (1-√3)²] = √(2-2√3+4/3) = √(10/3 - 2√3)因此，|PQ| 的最小值为 √(10/3 - 2√3)。