Question

说明齐次线性方程组Ax=0的基础解系中任一向量与A转置的列向量组中任一向量皆正交，为什么

Answer 1

问：说明齐次线性方程组Ax=0的基础解系中任一向量与A转置的列向量组中任一向量皆正交，为什么

答：亲您好很荣幸为您解答哦!说明齐次线性方程组Ax=0的基础解系中任一向量与A转置的列向量组中任一向量皆正交的原因是因为基础解系中的向量是线性无关的，所以它们构成了$A$的零空间的一组基。因此，任意一个在$A$的零空间中的向量都可以表示为基础解系中向量的线性组合，即$x=\sum_{i=1}^k c_ix_i$，其中$c_i$为常数。

答：现在考虑$A$转置的列向量组，设为$v_1,v_2,\cdots,v_n$。则对于任意一个基础解系中的向量$x_i$和任意一个$A$转置的列向量$v_j$，有：$$x_i^Tv_j=\sum_{k=1}^n c_kx_i^Tv_k$$其中$c_k$为常数。因为$x_i$在$A$的零空间中，所以有$Ax_i=0$，即$A$的每一行与$x_i$的内积都为$0$。因此，上式可以化为：$$x_i^Tv_j=\sum_{k=1}^n c_k(Ax_i)^Tv_k=0$$因为$Ax_i=0$，所以上式中的每一项都为$0$，即$x_i$与$v_j$正交。因此，基础解系中任一向量与$A$转置的列向量组中任一向量皆正交。

问：你这符合怎么回事

答：设基础解系中的向量为$x_1,x_2,\cdots,x_k$，则它们满足$Ax_i=0$，即在$A$的零空间中。又因为$A$的列向量组是线性无关的，所以$A$的零空间的维数为$n-r$，其中$n$为$A$的列数，$r$为$A$的秩。因此，基础解系中的向量个数为$n-r$。