Question

二项式定理展开式各项系数之和

Answer 1

二项式定理是一个数学定理，它描述了一个二元多项式的幂的展开式，多项式是由两个数的和写成的。按照定义，二项式定理的展开式有一个通用公式，即：对于任何非负整数n，下列式子都成立：
$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k} b^k$$
其中n, a和b为实数或变量，符号 “$\binom{n}{k}$” 表示组合数，即从n个元素中取k个元素的情况数，可以用下面的公式表示：
$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$
当二项式定理展开式中的a和b取值为1时，可以得出一个特殊的二项式系数的性质：展开式中每个系数的和都是2的n次方。即：
$$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^n$$
这个结论可以用数学归纳法证明。当n=0时，定理显然成立，因为只有一项; 当n=1时，定理表明$$(a+b)^1=a+b$$ 两边系数之和都是2。
假设定理在n=k时成立，即：
$$(a+b)^k=\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}a^{k-i} b^i$$
那么由此得到下面的式子：
$$(a+b)^{k+1}=(a+b)(a+b)^{k}=(a+b)\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}a^{k-i} b^i$$
按照乘法分配律可以得出:
$$(a+b)^{k+1}=\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}a^{k-i+1} b^i +\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}a^{k-i} b^{i+1}$$
结合上面的组合数公式可以将求和式化简为：
$$(a+b)^{k+1}=\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}a^{k-i+1} b^i +\sum_{i=1}^{k+1}\binom{k}{i-1}a^{k-i+1} b^i+\binom{k}{k}a^{k+1} b^0$$
化简得到:
$$(a+b)^{k+1}=\binom{k}{0}a^{k+1} b^0 + \sum_{i=1}^{k}\binom{k}{i}a^{k-i+1} b^i+\binom{k}{k}a^{k+1} b^0+ \sum_{i=1}^{k}\binom{k}{i-1}a^{k-i+1} b^i$$
观察发现:
$$ \binom{k}{0}a^{k+1} b^0+ \binom{k}{k}a^{k+1} b^0 = a^{k+1} + b^{k+1} $$
同时，根据组合数公式可以得到:
$$\binom{k}{i} = \binom{k+1}{i+1} - \binom{k}{i-1}$$
带入方程式中，两个求和分项消去，得:
$$(a+b)^{k+1} = a^{k+1}+b^{k+1}+\sum_{i=1}^{k}\binom{k+1}{i+1}a^{k-i+1} b^i$$
这样二项式定理的通项也被归纳证明了，又由于$$\sum_{i=0}^{k+1}\binom{k+1}{i}=2^{k+1}$$
可知$$\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}=2^{k}$$
因此，二项式系数的和就是2的n次方。