Question

将函数f(x)=³在区间x∈[一π,π,求其傅里叶展开式中的正弦系数().

Answer 1

问：将函数f(x)=³在区间x∈[一π,π,求其傅里叶展开式中的正弦系数().

答：亲，将函数f(x)在区间[-π, π]上展开成傅里叶级数，有：f(x) = a0/2 + Σ[ancos(nx) + bnsin(nx)]其中，a0/2为常数项，an和bn为傅里叶系数，n为正整数。由于f(x)为奇函数，其傅里叶展开式中只有正弦项，即：f(x) = Σ[bn*sin(nx)]其中，bn的计算公式为：bn = (2/π) * ∫[0, π][f(x)*sin(nx) dx]将f(x)代入上式，得到：bn = (2/π) * ∫[0, π][x^3*sin(nx) dx]对上式右侧的积分进行分部积分，得到：bn = (2/π) * [(π^3 - 6π)cos(nπ) + 6nπ^2sin(nπ) - 6nπ*sin(nπ)] / n^3当n为偶数时，bn为0；当n为奇数时，有：bn = (2/π) * [(π^3 - 6π)(-1)^((n-1)/2) + 12nπ^2sin(nπ)] / n^3因此，当n为奇数时，函数f(x)的傅里叶展开式中的正弦系数为：bn = (2/π) * [(π^3 - 6π)(-1)^((n-1)/2) + 12nπ^2sin(nπ)] / n^3题目中的函数f(x)为x的立方，而不是3的立方。因此，上述公式中的π应该替换为3。