Question

4+设数列+(nu_n)+收敛,且级数_(n=0)^n(u_n-u_(n-1))+收敛,证明un收敛.n=

Answer 1

问：4+设数列+(nu_n)+收敛,且级数_(n=0)^n(u_n-u_(n-1))+收敛,证明un收敛.n=

问：第四题

问：n从0开始

问：你这也太水了吧，搜题搜的出来我还找你干嘛

答：根据题目中的条件，我们可以得到以下等式：∑(n=1)^n(u_n - u_(n-1)) = u_n - u_0这里假设u_0=0，不影响本质。因为当n趋于无穷大时，u_n也会趋于无穷大。因此，我们只需要证明该数列是单调有界的即可。由于级数 ∑(n=0)^n(u_n - u_(n-1)) 收敛，因此它是一个柯西序列，即对于任意的正实数 ε，存在一个正整数 N，使得当 m > n > N 时，有：|∑(k=n+1)^m(u_k - u_(k-1))| ε由于 ∑(n=0)^n(u_n - u_(n-1)) 收敛，所以它是有界的，即存在一个实数 M，使得对于所有的 n，有：|∑(k=1)^n(u_k - u_(k-1))| ≤ M因此，对于所有的 m > n > N，我们有：|u_m - u_n| = |(u_m - u_(m-1)) + (u_(m-1) - u_(m-2)) + ... + (u_(n+1) - u_n)|≤ |∑(k=n+1)^m(u_k - u_(k-1))|< ε因此，(u_n) 是一个柯西序列，因此它收敛。因此，根据

答：根据题目中的条件，我们可以得到以下等式：∑(n=1)^n(u_n - u_(n-1)) = u_n - u_0这里假设u_0=0，不影响本质。因为当n趋于无穷大时，u_n也会趋于无穷大。因此，我们只需要证明该数列是单调有界的即可。由于级数 ∑(n=0)^n(u_n - u_(n-1)) 收敛，因此它是一个柯西序列，即对于任意的正实数 ε，存在一个正整数 N，使得当 m > n > N 时，有：|∑(k=n+1)^m(u_k - u_(k-1))| < ε

答：由于 ∑(n=0)^n(u_n - u_(n-1)) 收敛，所以它是有界的，即存在一个实数 M，使得对于所有的 n，有：|∑(k=1)^n(u_k - u_(k-1))| ≤ M因此，对于所有的 m > n > N，我们有：|u_m - u_n| = |(u_m - u_(m-1)) + (u_(m-1) - u_(m-2)) + ... + (u_(n+1) - u_n)|≤ |∑(k=n+1)^m(u_k - u_(k-1))|< ε因此，(u_n) 是一个柯西序列，因此它收敛。因此，根据数列的单调有界准则，(u_n) 是一个收敛的数列。