Question

p为正整数,证明若p不是完全平方数则根号p为无理数

Answer 1

不能直接由a^2是p的倍数推出a是p的倍数, 因为p不一定是素数，比较简单的做法是直接对pb^2=a^2两边都做素因子分解, 然后比较素因子的次数得到矛盾(因为素因子分解在不计次序的意义下是唯一的)。

反证：设√p=a/b,a,b是正整数且ab互质。

p=a^2/b^2

p*b^2=a^2

a和b互质所以a是p的倍数设a=pm。

p*b^2 = p^2m^2

b^2 = pm^2

因为m与b素质,所以b^2是p的倍数。

所以ab有公因数p,矛盾。

根号p是无理数。

定义

在数学中，无理数是所有不是有理数字的实数，后者是由整数的比率（或分数）构成的数字。当两个线段的长度比是无理数时，线段也被描述为不可比较的，这意味着它们不能“测量”，即没有长度（“度量”）。常见的无理数有：圆周长与其直径的比值，欧拉数e，黄金比例φ等等。

Answer 2

p为正整数,证明若p不是完全平方数则根号p为无理数
假设根号p是有理数，则
存在互素的正整数m和n使得
根号p=m/n
所以p=m^2/n^2
所以m^2=p*n^2
所以m必为p的倍数
设m=pk
则p^2k^2=p*n^2
p*k^2=n^2
所以n也必是p的倍数，矛盾

追问

如何由m^2=p*n^2证出m为 p的倍数
答出加奖励 谢啦

Answer 3

若p为正整数，p可以等于根号p的平方，由此得知，当一个实数开平方时，根号内实数必为完全平方数，而开方后只能得0、正有理数、正无理数，若答案为0或正有理数时，p为完全平方数，由题意得，p非完全平方数，则只可能为无理数。

Answer 4

p为正整数,证明若p不是完全平方数则根号p为无理数
假设根号p是有理数，则存在互素的正整数m和n使得√p=m/n,其中n≠1,(m,n)=1，即m/n是小数，因为小数的平方是小数，得到p=m^2/n^2是小数，与p为正整数矛盾，因此根号p为无理数

Answer 5

证明比较复杂，找个相似的看看行不。

证明根号2不是有理数.
证明：假设根号2是有理数，设根号2=Q/P（P、Q是整数，而且互质），则Q=根号2*P
所以 Q平方=2*P平方，因为右边是2的倍数，故左边Q平方也是2的倍数，从而Q是2的倍数，设Q=2n，代入Q平方=2*P平方得：2*n平方=P平方，由于左边是2的倍数，故右边P平方也是2的倍数，从而P是2的倍数，则P、Q都是2的倍数，即P、Q有公因数2，这与P、Q互质相矛盾。所以根号2不是有理数，是无理数。