Question

2014年第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷及答案(初二组)[扫描版] 试题单选第三题

在直角三角形ABC中，三条边的长度均为整数，分别记为a,b,c,其中c是斜边长。若C=ab/6-（a+b），则符合条件的直角三角形有（）个。

（A）3；（B）4；（C）6；（D）12.

求大神们帮忙！！！！！

Answer 1

由勾股定理得
a^2+b^2=c^2=[ab/6-(a+b)]^2=a^2*b^2/36-(ab/3)(a+b)+(a+b)^2
整理后得：
0=a^2*b^2/36-(ab/3)(a+b)+2ab
等号两边同除以ab（ab是边长，显然都大于0），得
0=ab/36-(a+b)/3+2
等号两边同乘以36，得
ab-12(a+b)+72=0
ab-12(a+b)+144=72
(a-12)*(b-12)=72
由于ab是整数，所以a-12和b-12也是整数，且大于-12
为避免解的重复，令b>=a
因此(a-12,b-12)可能是(1,72)、(2,36)、(3,24)、(4,18)、(6,12)、(8,9)、(-9,-8)
即(a,b)可能是(13,84)、(14,48)、(15,36)、(16,30)、(18,24)、(20,21)、(3,4)
经检验除最后一组外，其余组对应的c都是整数，所以有6个直角三角形

追问

第一步的“a^2*b^2/36-(ab/3)(a+b)+(a+b)^2”看不懂。

追答

是[ab/6-(a+b)]^2展开的结果