关于x的方程kx2+(3k+1)x+3=0.(1)求证:无论k取任何实数时,方程总有实数根;(2)当方程有两个不相等的整数根时,求k的正整数值
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解答：（1）证明：①当k=0时，方程为x+3=0，所以x=-3，方程有实数根，
②当k≠0时，△=（3k+1）2-4k?3，
=9k2+6k+1-12k，
=9k2-6k+1，
=（3k-1）2≥0，
所以，方程有实数根，
综上所述，无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）令y=0，则kx2+（3k+1）x+3=0，
解关于x的一元二次方程，得x1=-3，x2=?
1
k
，
∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，
∴k=1；
（3）由（2）得抛物线的解析式为y=x2+4x+3，
配方得y=（x+2）2-1，
∴抛物线的顶点M（-2，-1），
∴直线OD的解析式为y=
1
2
x，
于是设平移后的抛物线的顶点坐标为（h，
1
2
h），
∴平移后的抛物线解析式为y=（x-h）2+
1
2
h，
①当抛物线经过点C时，令x=0，则y=9，
∴C（0，9），
∴h2+
1
2
h=9，
解得h=
?1±
145
4
，
∴当
?1?
145
4
≤h＜
?1+
145
4
时，平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点；
②当抛物线与直线CD只有一个公共点时，
由方程组
y＝(x?h)2+
1
2
h
y＝?2x+9
，
消掉y得，x2+（-2h+2）x+h2+
1
2
h-9=0，
∴△=（-2h+2）2-4（h2+
1
2
h-9）=0，
解得h=4，
此时抛物线y=（x-4）2+2与射线CD唯一的公共点为（3，3），符合题意，
综上所述：平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是h=4或
?1?
145
4
≤h＜
?1+
145
4
．
咨询记录 · 回答于2021-11-30
关于x的方程kx2+(3k+1)x+3=0.(1)求证:无论k取任何实数时,方程总有实数根;(2)当方程有两个不相等的整数根时,求k的正整数值
解答：（1）证明：①当k=0时，方程为x+3=0，所以x=-3，方程有实数根，②当k≠0时，△=（3k+1）2-4k?3，=9k2+6k+1-12k，=9k2-6k+1，=（3k-1）2≥0，所以，方程有实数根，综上所述，无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）令y=0，则kx2+（3k+1）x+3=0，解关于x的一元二次方程，得x1=-3，x2=?1k，∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，∴k=1；（3）由（2）得抛物线的解析式为y=x2+4x+3，配方得y=（x+2）2-1，∴抛物线的顶点M（-2，-1），∴直线OD的解析式为y=12x，于是设平移后的抛物线的顶点坐标为（h，12h），∴平移后的抛物线解析式为y=（x-h）2+12h，①当抛物线经过点C时，令x=0，则y=9，∴C（0，9），∴h2+12h=9，解得h=?1±1454，∴当 ?1?1454≤h＜?1+1454时，平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点；②当抛物线与直线CD只有一个公共点时，由方程组y＝(x?h)2+12hy＝?2x+9，消掉y得，x2+（-2h+2）x+h2+12h-9=0，∴△=（-2h+2）2-4（h2+12h-9）=0，解得h=4，此时抛物线y=（x-4）2+2与射线CD唯一的公共点为（3，3），符合题意，综上所述：平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是h=4或?1?1454≤h＜?1+1454．
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