Question

怎么证明：已知曲线外一定点，在一曲线上找一切线，当次切点与定点的连线垂直与切线时，连线是定点到曲线的最短距离？

Answer 1

问：怎么证明：已知曲线外一定点，在一曲线上找一切线，当次切点与定点的连线垂直与切线时，连线是定点到曲线的最短距离？

答：您好，用点斜式方程表示切线（点是切点P（x0，y0）），y-y0=k₁（x-x0）连圆心，切点作两点式表示经过点P的方程，y=k₂x+b只要得到k₁*k₂=-1即可 。假设不垂直，那么过圆心做这条切线的垂线，那么这条垂线比圆心与切点的连线短，即圆心到切线的距离小于圆的半径，这与切线的条件矛盾，所以圆心与切点的连线垂直于切线用反证法啊假设不是垂线,则从圆心到切线一定有一条垂线L.点到直线的距离最短的是垂线,而圆与切线只有一个交点,圆心到切点的距离是半径.则L的长度一定小于半径,而这是不可能的.所以L是不存在的这就证明了：圆心与切点之间的连线是垂直与切线的。

答：回答定点到折线的最短距离的求法：一般由目测，即可看出哪一段折线是离定点最近的折线(例如你画的那个，显然DE就是离定点最近的折线段)，如看不出多算几段也可以，例如可以算每段折线离定点最近的点，则所有线段中离定点最近的距离中最小的那个距离就是所求的最近距离。 算一段直线离定点最近的点的方法是：由定点向直线段所在的直线引垂线，如果垂足在那一段直线内，则垂足即为离定点最近的点，如垂足在直线段的外边，则直线段离垂足近的那个端点就是离定点最近的点(如判断不出哪个近就计算两个端点到定点的距离，选距离小的那个就行了)。具体的解析几何的算法是：先建立坐标系，得到直线段的两个端点的坐标，和那个定点的坐标，然后由两个端点的坐标可以算出两端点所在直线的方程及其斜率。 从而算出垂直于这个直线的斜率(负倒数)，然后用定点和这个斜率，可以得到垂线的点斜式方程，然后就可算出垂线和直线的交点(为两线方程的解)，然后根据直线的参数式方程x=x1+t•(x2-x1)，y=y1+t•(y2-y1)。(其中(x1,y1)，(x2,y2)直线段两端点的坐标)。再算出交点对应直线中的t，

答：如0≤t≤1，则交点就是离定点最近的点；如t1，则t=1对应的点就是离定点最近的点。