Question

幂级数的收敛半径计算公式

Answer 1

1 R = lim sup n→∞ |cn|1/n 1 R = lim sup n → ∞ | c n | 1 / n 。

1、根据达朗贝尔审敛法，收敛半径R满足：如果幂级数满足，则：ρ是正实数时，1/ρ；ρ = 0时，+∞；ρ =+∞时，R= 0。
2、根据根值审敛法，则有柯西-阿达马公式，或者复分析中的收敛半径，将一个收敛半径是正数的幂级数的变量取为复数，就可以定义一个全纯函数。收敛半径可以被如下定理刻画：个中心为a的幂级数F的收敛半径R等于a与离a最近的使得函数不能用幂级数方式定义的点的距离，到 a的距离严格小于 R的所有点组成的集合称为收敛圆盘，最近点的取法是在整个复平面中，而不仅仅是在实轴上，即使中心和系数都是实数时也是如此。

幂级数中心点的定义：
为了能够扩展阿贝尔定理的应用，将幂级数中心点定义为：使指数为n的底为0的点称为幂级数中心点（网上找不到这个定义，所以就这样规定了），这个中心点刚好就是幂级数收敛区间的中心点（这个可以结合阿贝尔定理证明，阿贝尔定理中的中心点是0）。