Question

证明函数f(x)=1-x^2在区间【-1,1】上满足罗尔定理

Answer 1

问：证明函数f(x)=1-x^2在区间【-1,1】上满足罗尔定理

答：罗尔定理描述如下： 如果R上的函数 f(x) 满足以下条件：（1）在闭区间[a,b] 上连续，（2）在开区间(a,b) 内可导，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。

答：证明：由罗尔定理可知，函数f(x)=1-x^2在区间[-1,1]上满足罗尔定理的充要条件是：（1）f(x)在区间[-1,1]上连续；（2）f(-1)=f(1)；（3）f'(x)在区间[-1,1]上存在；（4）f'(x)在区间[-1,1]上连续；（5）f'(-1)f'(1)<0。（1）f(x)=1-x^2在区间[-1,1]上连续，显然成立。（2）f(-1)=1-(-1)^2=1-1=0=f(1)，成立。（3）f'(x)=-2x，在区间[-1,1]上存在，成立。（4）f'(x)=-2x在区间[-1,1]上连续，成立。（5）f'(-1)=-2(-1)=2，f'(1)=-2(1)=-2，2*(-2)<0，成立。综上所述，函数f(x)=1-x^2在区间[-1,1]上满足罗尔定理。

答：以上就是证明过程了

问：求函数y=x^3-3x的单调区间和极值