Question

质量为m1=0.1kg的子弹以v0=2000m/s的水平速度向并嵌入一质量为m2=10kg的木块，木块与一劲度系数k=4000N/s、一端固定的轻弹簧相连接，子弹射入前，木块自由静止在水平光滑面上。问：木块被击中后瞬间的速度？木块被击中后弹簧被压缩的最大长度？木块的运动学方程（以平衡位置为坐标原点）

Answer 1

问：质量为m1=0.1kg的子弹以v0=2000m/s的水平速度向并嵌入一质量为m2=10kg的木块，木块与一劲度系数k=4000N/s、一端固定的轻弹簧相连接，子弹射入前，木块自由静止在水平光滑面上。问：木块被击中后瞬间的速度？木块被击中后弹簧被压缩的最大长度？木块的运动学方程（以平衡位置为坐标原点）

答：根据动量守恒定律，子弹和木块组成的系统在碰撞前后动量守恒，即m1*v0 = (m1 + m2) * v其中，v是木块和子弹的组合体在碰撞后的速度。

答：解出v可得：v = m1v0 / (m1 + m2) = 0.12000 / (0.1+10) = 19.6 m/s

答：因为碰撞过程中没有外力做功，所以动能守恒，即1/2 * m1 * v0^2 = 1/2 * (m1 + m2) * v^2 + 1/2 * k * x^2

答：其中，x是弹簧被压缩的长度。代入数据计算可得：x = sqrt(m1/m2) * v0 / sqrt(k) = sqrt(0.1/10) * 2000 / sqrt(4000) = 0.5 m

答：在碰撞后，木块受到弹簧的弹力作用，弹簧的弹力与木块的运动方向相反，大小为F = k * x，因此木块受到的合外力为F - m2*g，其中g是重力加速度，方向向下。

答：根据牛顿第二定律F=ma，可以得到木块的运动学方程：F - m2*g = (m2 * d^2x) / dt^2化简可得：d^2x/dt^2 + (k/m2) * x = g这是一个简谐振动方程，解为：x = A * cos(ω*t + φ)

答：其中，A是振幅，ω是角频率，φ是初相位，它们的值可以根据初始条件确定。代入方程可以得到：A = x = 0.5 mω = sqrt(k/m2) = sqrt(4000/10) = 20 rad/sφ = 0

答：综上所述，木块被击中后瞬间的速度为19.6 m/s，弹簧被压缩的最大长度为0.5 m，木块的运动学方程为x = 0.5cos(20t)。

问：一平面简谐波沿OX轴正向传播，振幅为0.05m，频率为30hz，波速为100m/s，在t=0时刻，x=0处的质点在平衡位置向y轴正向运动，求在x=0处的质点的振动方程，和该波的波函数

答：对于平面简谐波，其波函数可以表示为：y = A * sin(ωt - kx + φ)其中，A是振幅，ω是角频率，k是波数，φ是初相位。由于波速v和频率f的关系为：v = λ * f其中，λ是波长，因此可以求得波长为：λ = v / f = 100 / 30 = 3.33 m

答：由于波沿OX轴正向传播，因此可以将波数k表示为：k = 2π / λ = 2π / 3.33 ≈ 1.89 rad/m由于在t=0时刻，x=0处的质点在平衡位置向y轴正向运动，因此初始相位φ为π/2

答：代入上述公式可以得到在x=0处的质点的振动方程：y = A * sin(ωt + π/2)其中，A=0.05m，ω=2πf=60π rad/s。将A和ω代入波函数公式可以得到该波的波函数：y = 0.05 * sin(2π*30t + π/2) = 0.05 * sin(60πt + π/2)

问：为什么是用sin的表示

答：在描述平面简谐波时，通常采用正弦或余弦函数来表示波函数，具体使用哪一种函数要看题目所给出的初始条件和问题要求。对于振幅为A、频率为f、角频率为ω、初相位为φ的平面简谐波而言，其波函数可以表示为：y = A * sin(ωt - kx + φ)或y = A * cos(ωt - kx + φ)

答：其中，正弦函数和余弦函数都能够描述平面简谐波的振动情况，只是初始相位的取值不同。一般来说，使用哪一种函数都可以，只需要注意与题目所给出的条件和要求相匹配即可。

问：有两个振动x1=A1coswt，x2=A2sinwt，且A2大于A1，传播方向相同，则合成的振动振幅为多少

答：合成振动的振幅为$\sqrt{A_2^2-A_1^2}$。