Question

已知函数f(x)=2cos2x+sinx的平方+4cosx+求f(x)的值域

Answer 1

问：已知函数f(x)=2cos2x+sinx的平方+4cosx+求f(x)的值域

答：亲，您好，很高兴为您解答，已知函数f(x)=2cos2x+sinx的平方+4cosx+求f(x)的值域？首先，我们可以将f(x)展开，并利用三角函数的性质进行化简f(x) = (2cos2x+sinx)^2 + 4cosx = 4cos^2(2x) + 4sinx*cos2x + sin^2(x) + 4cosx = 2 + 2cos(4x) + 2sinx*cos2x + 1 - cos^2(x) + 4cosx = 3 + 2cos(4x) + 2cosx(2sinx+4) = 5 + 2cos(4x) + 4cosxsinx + 8cosx接下来，我们考虑f(x)的值域。因为-1<=cos(4x)<=1，所以f(x)的最小值为3-2-8= -7，最大值为5+2+8 = 15，也就是说，f(x)的值域是[-7, 15]。因此，函数f(x)的值域为[-7, 15]。希望本次服务能够帮助到您，感谢您的咨询，祝您万事如意！

问：所以值域是什么

答：亲，您好，很高兴为您解答，所以值域是什么？根据函数f(x)的表达式，我们可以将其分解为三个部分f(x) = (2cos2x+sinx)^2 + 4cosx = 4cos^2(2x) + 4sinx*cos2x + sin^2(x) + 4cosx= 2 + 2cos(4x) + 2sinx*cos2x + 1 - cos^2(x) + 4cosx= 3 + 2cos(4x) + 2cosx(2sinx+4) = 5 + 2cos(4x) + 4cosxsinx + 8cosx因此，我们可以考虑每个部分的值域，然后综合得出f(x)的值域。首先，函数 g(x) = 2cos(4x) 的值域是 [-2, 2]，这是因为 -1≤cos(4x)≤1，所以 -2≤2cos(4x)≤2。其次，函数 h(x) = 2cosx(2sinx+4) 的值域也可以通过分析得到。因为 -1≤cosx≤1，所以 -2sinx-4≤2sinx+4cosx≤2sinx+4。因为 -1≤sinx≤1，所以 -6≤ 2sinx+4cosx ≤6。因此，h(x) 的值域是 [-12, 12]。最后，常数项的值为 5，因此 f(x) 的值域是 [5-12, 5+2, 5+12]，即 [-7, 7, 17]。因此，函数 f(x) 的值域是 [-7, 7, 17]。希望本次服务能够帮助到您，感谢您的咨询，祝您万事如意！