Question

当(x,y)→(0,0)时,证明lim(x²+y²)/(1+(x-y)⁴)不存在

Answer 1

问：当(x,y)→(0,0)时,证明lim(x²+y²)/(1+(x-y)⁴)不存在

答：我们可以使用两种方法证明该极限不存在。方法一：考虑沿着不同的路径逼近原点，如果得到的极限不同，则可以证明极限不存在。1. 当$x=y$时，$(x,y)→(0,0)$，此时极限为：$$\lim_{x \to 0}\frac{x^2+x^2}{1}=\lim_{x \to 0}\frac{2x^2}{1}=0$$2. 当$y=x^2$时，$(x,y)→(0,0)$，此时极限为：$$\lim_{x \to 0}\frac{x^2+x^4}{1+(x-x^2)^4}=\lim_{x \to 0}\frac{x^2(1+x^2)}{1+(x-x^2)^4}=0$$3. 当$y=-x^2$时，$(x,y)→(0,0)$，此时极限为：$$\lim_{x \to 0}\frac{x^2+x^4}{1+(x+x^2)^4}=\lim_{x \to 0}\frac{x^2(1+x^2)}{1+(x+x^2)^4}=0$$由于不同路径逼近原点得到的极限都是0，因此我们无法证明该极限不存在。