Question

1.计算二重积分2xydxdy 其中D是由曲线 y^2=x 与直线 x=2y-|||-围成的闭区域.

Answer 1

问：1.计算二重积分2xydxdy 其中D是由曲线 y^2=x 与直线 x=2y-|||-围成的闭区域.

答：亲很高兴为您解答，算出来应该是∫∫(u+1)(v+1)dudv=∫∫(uv+u+v+1)dudv=∫∫uv+∫∫u+∫∫v+∫∫1 ,他平移过了积分区域，新的积分区域是个圆,关于u和v都对称，根据普通的对称性，上式的前面三项要么对u是奇函数，要么对v是奇函数，根据对称性前面三项都为0。积分就只剩最后一项∫∫1dudv,相当于求积分区域的面积，积分区域是个圆，面积就是π*1^2,最后答案就是π。

问：可以详细一点吗

问：从积分区域开始

答：相关拓展有两个主要的方式：一是直接使用直角坐标，二是使用极坐标。这是我们计算二重积分的两个主要的武器。首先，对直角坐标来说，主要考点有两个：一是积分次序的选择，基本原则有两个：一是看区域，选择的积分次序一定要便于定限，说得更具体一点，也就是要尽量避免分类讨论;二是看函数，要尽量使第一步的积分简单，选择积分次序的最终目的肯定是希望是积分尽可能地好算一些，实践表明，大多数时候，只要让二重积分第一步的积分尽可能简单，那整个积分过程也会比较简洁，所以我们在拿到一个二重积分之后，可以根据它的被积函数考虑一下第一步把哪个变量看成常数更有利于计算，从而确定积分次序。二是定限，完成定限之后，二重积分就被化为了两次定积分，就可以直接计算了。

答：亲很高兴为您解答设x=1+rcosu,y=1+rsinu,则dxdy=rdrdu,原式=∫du∫r(1+rcosu)(1+rsinu)dr=∫du∫[r+(cosu+sinu)r^2+cosusinur^3]dr=∫[1/2+(1/3)(cosu+sinu)+(1/8)sin2u]du=[u/2+(1/3)(sinu-cosu)-(1/16)cos2u]|=π。