Question

x&的平方+y的平方=1,m的平方+n的平方=3,求mx+ny的最大值，要过程！！！

Answer 1

此题的一般形式为：
实数m，n，x，y满足m平方+n平方=a，x平方+y平方=b，那么mx+ny的最大值是多少？
【解法一】
令m=√a*sint
则n^2=a-a(sint)^2=a(cost)^2
因为cost值域关于原点对称
所以不妨令n=√acost

令x=√bcosu,
则同上，y=√bsinu

mx+ny=√(ab)sintcosu+√(ab)costsinu
=√(ab)(sintcosu+costsinu)
=√(ab)*sin(t+u)
所以最大值=√(ab)
【解法二】
由柯西不等式(mx+ny)^2≤(m^2+n^2)(x^2+y^2)=ab,
当且仅当m/x=n/y时,"="号成立,
∴ mx+ny≤√(ab)(由已知,a≥0,b≥0),即
mx+ny的最大值=√(ab).

再看本题：
m的平方+n的平方=3,x的平方+y的平方=1,求mx+ny的最大值.

【解】利用前面已证结论：
mx+ny≤√(ab)，其中a=3,b=1.
mx+ny的最大值是√3.

追问

解法二看不懂，解法一太绕了，还有没有其他方法啊？

追答

就这两种方法，第一种是三角代换。
m的平方+n的平方=3,x的平方+y的平方=1,
所以可设m=√3sinα，n=√3cosα
x=sinβ，y=sinβ，
所以mx+ny=√3sinαsinβ+√3cosαsinβ
=√3（sinαsinβ+cosαsinβ）
=√3cos（α-β）≤√3.