Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，且AD=4cm，AB=6cm，DC=10cm，若动点P从A点出发，以每秒1cm的

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，且AD=4cm，AB=6cm，DC=10cm，若动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿线段AD向点D运动；动点Q从C点出发以每秒3cm的速度沿CB向B点运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题：
3.是否存在t，使得直线PQ将梯形ABCD的面积分为1：2两部分？
4.是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？
速度！！！！

Answer 1

过D做BC的垂直线，交BC于E点，则DE=AB=6
CE²=CD²-DE²=100-36=64,CE=8
BE=AD=4,BC=BE+EC=4+8=12
t秒后，AP=t，DP=4-t，CQ=3t，BQ=12-3t，0<=t<=4
1、四边形ABQP的面积=6*(t+12-3t)/2=36-6t
四边形DCQP的面积=6*(4-t+3t)/2=12+6t
若ABQP的面积=2*DCQP的面积，则有36-6t=2(12+6t)，解得t=2/3秒
若DCQP的面积=2*ABQP的面积，则有12+6t=2(36-6t)，解得t=10/3秒
所以当t=2/3和10/3秒时，直线PQ会将梯形ABCD的面积分为1：2两部分
2、反向逆推，若△DQC是等腰三角形，有以下几种情况：
①DQ=CQ
则过Q点做CD的垂直线交CD于F点，CF=DF=CD/2=5
cos∠C=CF/CQ=CE/CD
即：5/(3t)=8/10
解出：t=25/12<4，符合t的取值范围
②DQ=DC
则：EQ=EC，且EC=8
EQ=CQ/2=3t/2
3t/2=8
解除：t=16/3>4，不符合t的取值范围
③CQ=CD
则3t=10
解出：t=10/3<4，符合t的取值范围
所以当t=25/23和10/3秒时，△DQC是等腰三角形

Answer 2

解:作DE垂直BC于E,则BE=AD=4,DE=AB=6,EC=√(CD²-DE²)=8,BC=12.
3.t秒时,AP=t,BQ=BC-CQ=12-3t.
(3)直线PQ把梯形ABCD面积分为1:2两部分,则S梯形ABQP:S梯形ABCD=1:3或2:3
即[(AP+BQ)*AB/2]:[(AD+BC)*AB/2]=1:3或2:3.
(AP+BQ):(AD+BC)=1:3或2:3, (t+12-3t):(4+12)=1:3或2:3,t=10/3或2/3.
所以,当t=10/3秒或2/3秒时,直线PQ将梯形面积1:2两部分.
(4)当CQ=CD时,即3t=10,t=10/3;
当DQ=CQ时,作QH垂直CD于H,则CH=CD/2=5.
∠QHC=∠DEC=90°,∠C=∠C,⊿QHC∽⊿DEC,QC/DC=CH/CE,QC/10=5/8,QC=25/4.
则:t=QC/3=25/12.
DB=√(AB²+AD²)=√52<CD,即DQ≠CD.
∴当t=10/3秒或25/12秒时,△DQC是等腰三角形.

Answer 3

（1）设t 秒时面积比为1：2
则：过D作DE垂直BC于E，
由题易求得，AB=DE=6，AD=4。DC=10，勾股定理求得CE=8，
BE=4，BC=12
t秒时，AP=t,CQ=3t;BQ=12-3t,DP=4-t
S梯形=48
所以当梯形ABQP=48X1/3=16。
即：16=（t+12-3t)6/2
得t=20/3
当梯形ABQP=48X2/3=32
32=（t+12-3t)6/2得t=2/3
(2)存在，当△DQC是等腰三角形时，
有DC=DQ=10，此时不可能，因为C与Q关于DE对称，则EQ=8，不合题意。]
当DC=CQ=10时，即3t=10，t=10/3
当QD=QC时，点Q在DC的垂直平分线上，设DC的垂直平分线为QF。
则△CFQ相似△CED
CF：CQ=CE：CD
即5：3t=8:10
t=25/12

Answer 4

3.存在。作高DE,得矩形ABED,BE=AD=4，DE=AB=6，在直角△DEC中，由勾股定理求得CE=8，∴BC=8+4=12，设AP=t,则PD=4-t,CQ=3t,BQ=12-3t.梯形ABCD面积=（4+12）×6÷2=48，∴梯形APQB=(t+12-3t)×6÷2=1/3×48=16或者梯形APQB=(t+12-3t)×6÷2=2/3×48=32
4.存在。当QD=QC时，作高QF⊥CD于F,则△CFQ∽△CED,∴3t:5=10:8.∴t=25/12
当CQ=CD时，3t=10,t=10/3