Question

6已知4阶矩阵A满足: A^2+2A-E=0 , |A-E|=2 ,则 A+3E|=权B S

Answer 1

问：6已知4阶矩阵A满足: A^2+2A-E=0 , |A-E|=2 ,则 A+3E|=权B S

答：您好！ 亲~ 我们可以从已知条件中得到以下两个方程：A^2 + 2A - E = 0 ……（1）|A - E| = 2 ……（2）其中，E是单位矩阵。现在要求的是矩阵B，使得A 3E=权B S。为了求解B，我们将右侧的式子整理一下：A 3E = A (E + E + E) = A E + A E + A E由于矩阵乘法满足结合律和分配律，我们可以将上式写成：A E + A E + A E = (A + A + A) E = 3A E因此，原式可以进一步化简为：A 3E = 3A E接下来，我们考虑如何利用已知条件求解A和E。根据方程（1），我们可以得到：A (A + 2E) = E两边同时乘以A-2E，得到：A (A + 2E) (A - 2E) = E (A - 2E)化简可得：A^3 - 4A = -2E又因为 |A - E| = 2，所以 A - E 和 A + 2E 都是可逆矩阵，从而有：(A - E)(A + 2E) = A^2 + A - 2E = E两边同时乘以(A - E)，得到：A^3 - E = A^2(A - E) + A(A - E) = 2E因此，我们可以将原式改写为：3A E = A (3E) = A (2E + E) = 2A E + A E接下来，我们可以利用之前推导的式子求解A E 和 A^2：A (A + 2E) = E左右同时乘以A，得到：A^2 + 2A = A^-1将左侧代入方程（1）中，得到：(A^-1)^2 + 2(A^-1) - E = 0令B = A^-1，代入上式，得到：B^2 + 2B - E = 0同样地，由于 |A - E| = 2，所以有：|A^-1 - E| = |B - E| = 2因此，我们可以使用公式 |A^-1 - E| = |A - E|^-1 来计算 |A^-1|：|A^-1| = |A^-1 - E| × |E| = 2 × 1 = 2现在，我们已经求解出了A、E和|A^-1|，可以继续推导B和S。根据：A 3E = 3A E左右同时乘以A^-1，得到：B 3E = 3E两边同时左乘E^-1，可得：B 3I = 3I其中，I是单位矩