Question

如图,在平行四边形ABCD中,AB=3,BC=6,∠ABC=60°,P是平面内一点,则PA+PB+PC+PD

Answer 1

问：如图,在平行四边形ABCD中,AB=3,BC=6,∠ABC=60°,P是平面内一点,则PA+PB+PC+PD

答：亲～这道题由我来给您解答哦根据平行四边形的性质可知，向量AB与向量DC相等且方向相反，向量BC与向量AD相等且方向相反。因此，向量AP+PB+BC+CD=0。

答：将上式改写为 PA+PB+PC+PD = PA+(AP+PB)+PC+(CD+DP) = 2(PA+BC)，其中，BC=6，∠ABC=60°，因此，三角形ABC是等边三角形，所以 AB=BC=AC=3。由余弦定理可得，∠BAC=∠CBA=∠DAB=60°，因此，三角形ABP、BCP、CDP都是边长为3，角度为60°的等边三角形，其周长均为9。综上所述，PA+PB+PC+PD = 2(PA+BC) = 2(PA+3)。由于点P的位置未知，因此无法计算具体的长度值。

问：如图,在平行四边形ABCD中，AB=3,BC=6,∠ABC=60°,P是平面内一点,则PA+PB+PC＋PD的最小值是多少？背景条件不变，M，N是平面内两点，求MA+MB+NC+ND+MN的最小值是多少？

答：亲～这道题由我来给您解答哦【问题一解答】同样根据平行四边形的性质可知，向量AP+PB和向量CP+PD大小相等且方向相反，即它们的和为0。因此，PA+PB+PC+PD的值等于向量AP+PB的模长加上向量CP+PD的模长。将向量AP表示成向量AB和向量BP的和，向量BP表示成向量BC和向量CP的和，向量CP表示成向量CD和向量DP的和，得到向量 AP + PB = 向量 AB + 向量 BC + 向量 CD + 向量 DP由于向量AB与向量DC相等且方向相反，向量BC与向量AD相等且方向相反，因此，上式化为向量 AP + PB = 向量 AD + 向量 DP所以，PA + PB + PC + PD = |向量 AD| + |向量 DP|又因为AD=BC=6，所以|向量 AD|=6，而向量 DP 的长度最小值是点P到直线AD的距离，当且仅当点P在直线AD上时取得。设点P到点A的距离为h，则有PC + PD = 2h因此，PA + PB + PC + PD = 6 + 2h >= 6当且仅当点P在直线AD上，即点P为线段AD的中点时，PA+PB+PC+PD取得最小值6。综上所述，PA+PB+PC+PD的最小值是6。

答：【问题二解答】考虑使MN、MA和NC、ND分别重合。具体地，可将MN取在线段CD上，将MA取在线段BC上，将NC取在线段AB上，将ND取在线段AD上。此时，MN = CD = 3， MA = BC = 6， NC = AB = 3， ND = AD = 6。因此，MA+MB+NC+ND+MN = 6+6+3+6+3=24。综上求得，MA+MB+NC+ND+MN的最小值是24。