Question

7.已知函数 f(x)=e^ax-x.求f（x）单调区间

Answer 1

问：7.已知函数 f(x)=e^ax-x.求f（x）单调区间

答：亲！首先，我们要对函数 $f(x)$ 求导数。 $f'(x) = ae^{ax} - 1$ 为了找出 $f(x)$ 的单调区间，我们需要分析 $f'(x)$ 的符号。 当 $f'(x) > 0$ 时，$f(x)$ 单调递增； 当 $f'(x) < 0$ 时，$f(x)$ 单调递减。 因此，我们需要解方程 $f'(x) = 0$，即： $ae^{ax} - 1 = 0$ 解得 $x = \ln(\frac{1}{a})$，代入原函数 $f(x)$ 中可得： $f(\ln(\frac{1}{a})) = e^{a} \cdot \ln(\frac{1}{a}) - \ln(\frac{1}{a})$ 化简得： $f(\ln(\frac{1}{a})) = 1 - a \cdot \ln(\frac{1}{a})$

答：现在需要讨论三种情况： 当 a > 0 时，有 ln(1/a) 0，因此 f'(x) 在整个定义域内大于 0，即 f(x) 在整个定义域内单调递增。 当 a = 0 时，有 f'(x) = 1 > 0，因此 f(x) 在整个定义域内单调递增。 当 a 0 时，有 ln(1/a) > 0，因此 f'(x) 在整个定义域内小于 0，即 f(x) 在整个定义域内单调递减。 综上所述，当 a≠0 时，f(x) 的单调区间为： a > 0：(-∞, +∞) a < 0：(+∞, -∞) 当 a=0 时，f(x) 在整个定义域上单调递增。