Question

8.已知点O是+ABC+内部一点,求证:+AOB>C.+C-|||-c-|||-A+h

Answer 1

问：8.已知点O是+ABC+内部一点,求证:+AOB>C.+C-|||-c-|||-A+h

答：亲，证明如下，首先，根据三角形内角和定理可得：∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°由于点O是三角形ABC内部的一点，因此有：∠OAB+∠OBA+∠OBC+∠OCB+∠OCA+∠OAC=360°化简得：∠OAB+∠OBA+∠OBC+∠OCB+∠OCA+∠OAC=2(∠ABC+∠ACB+∠BAC)将上面的两个式子联立起来，移项整理得：∠ABC+∠ACB+∠BAC>2(∠OAB+∠OBA+∠OBC+∠OCB+∠OCA+∠OAC-∠ABC-∠ACB-∠BAC)化简得：∠ABC+∠ACB+∠BAC>2(∠OAB+∠OBA+∠OBC+∠OCB+∠OCA+∠OAC)-6∠ABC再根据三角形面积公式S=1/2×底×高，我们有S△ABC=1/2×AB×AC×sin∠BACS△OAB=1/2×AB×AO×sin∠OABS△OBC=1/2×BC×BO×sin∠OBCS△OCA=1/2×AC×CO×sin∠OCA将上面的面积公式代入原式化简得：sin∠BAC>2(sin∠OAB×sin∠OBA+sin∠OBC×sin∠OCB+sin∠OCA×sin∠OAC)-6(sin∠OAB×sin∠OBA+sin∠OBC×sin∠OCB+sin∠OCA×sin∠OAC)×(1/2×sin∠BAC)/(AB×AC)化简得：1>2(cos∠OAB×cos∠OBA+cos∠OBC×cos∠OCB+cos∠OCA×cos∠OAC)-3(cos∠OAB×cos∠OBA+cos∠OBC×cos∠OCB+cos∠OCA×cos∠OAC)×(1-cos∠BAC)/(AB×AC)化简得：1>(cos∠OAB×cos∠OBA+cos∠OBC×cos∠OCB+cos∠OCA×cos∠OAC)+3(cos∠OAB×cos∠OBA+cos∠OBC×cos∠OCB+cos∠OCA×cos∠OAC)×cos∠BAC/(AB×AC)化简得：1>cos∠OAB×cos∠OBA+cos∠OBC×cos∠OCB+cos∠OCA×cos∠OAC+3cos∠BAC/(AB×AC)×(cos∠OAB×cos∠OBA+cos∠OBC×cos∠OCB+cos∠OCA×cos∠OAC)因为∠BAC是锐角，所以cos∠BAC>0，且AB×AC>h，因此有：1>cos∠OAB×cos∠OBA+cos∠OBC×cos∠OCB+cos∠OCA×c