Question

已知函数 f(x)=e^x-ax^2 在(0,2)上不单调,则a的取值范围是-|||-A. (1,+) B. (

Answer 1

问：已知函数 f(x)=e^x-ax^2 在(0,2)上不单调,则a的取值范围是-|||-A. (1,+) B. (

答：首先，我们需要求出函数f(x)在(0,2)上的一阶导数和二阶导数。 f'(x) = e^x - 2ax f''(x) = e^x - 2a 由于f(x)在(0,2)上不单调，即在该区间内存在某些x1和x2，满足x1 x2，且f'(x1)与f'(x2)异号。 根据f'(x)的符号可以得到以下结论： 当x > ln(2a)时，f'(x)大于0。 当x ln(2a)时，f'(x)小于0。 因此，f'(x)在(0,2)上的异号区间为(0, ln(2a))和(ln(2a), 2)两段。 根据上面的结论，我们可以得到以下两个不等式： f'(x1) = e^x1 - 2ax1 > 0 f'(x2) = e^x2 - 2ax2 > 0 将x1和x2代入上述不等式，并进行变形，可以得到： e^x1 > 2ax1 e^x2 > 2ax2 由于x1和x2在(0,2)上取值，同时考虑鞍点的存在，我们可以得到以下几个结论： 1. 当x取接近0的值时，e^x远小于2ax。因此，必须要求a>0。 2. 当x取接近2的值时，e^x远大于2ax。因此，必须要求a<1。 综上所述，a的取值范围是(0,1)。 所以答案选C. (0,1)。