Question

如图,抛物线y=-x2+bx+c与X轴交于A(1,0)、B(-3,0)两点

(1)求该抛物线的解析式
（2）设（1）中的抛物线交y轴于点C，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出点Q坐标，若不存在，请说明理由
（3）在第二象限的抛物线上是否存在一点P，是△PBC的面积最大？若存在，求出点P坐标及△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由

Answer 1

解①依题意可知方程-x²+bx+c=0的两个根是x1=1 x2=-3
即方程x²-bx-c=0的两个根为1和-3
由韦达定理 b=1-3=-2 -c=1×(-3) c=3
所以抛物线的解析式为y=-x²-2x+3
②存在
设C关于抛物线对称轴对称的点位D
令x=0由抛物线的解析式可以求得C的坐标为(0,3)
再令-x²-2x+3=3 （C和D的纵坐标都是3）
解得x=0或-2
即D得坐标为(-2,3)
因为C、D关于对称轴x=-1对称
Q是对对称轴上的一点
于是有CQ=DQ (这一步尤为关键)
△QAC的周长C=CQ+QA+AC=DQ+QA+AC
当点D、Q、A三点在一条直线上时，周长C最短 （画图配合，就能明白）
因为D(-2,3)，A(1,0) 求得直线DA的表达式为y=-x+1
直线DA与对称轴x=-1交于(-1,2) 该点即为使得△QAC周长最短的Q点
③设P到直线BC的距离为d
于是△PBC的面积的面积S=1/2×d×|BC|
|BC|的长度固定，于是题目转变成为抛物线上是否有一点P距直线BC的距离最大。
显然是存在的，
不妨过第二象限内抛物线上的点作直线BC的平行线
可以找到P'与抛物线相切，此时P‘距直线BC的距离是最大的。
因此在第二象限呢存在一点P，使得△PBC的面积最大。
（题目没有要求求出P的坐标，可以不求。若你想求出来的话可以通过二次函数的导数等于直线BC的斜率确定出P点的坐标）

Answer 2

1）抛物线y=x^+bx+c与x轴交于A（-1,0）B(3,0)两点,将A、B两点坐标代入抛物线方程，得到：
1-b+3=0
9+3b+c=0
解得：b=-2,c=-3
所以，该抛物线的解析式为：y=x^-2x-3

（2）要满足S△PAB=8，已知AB=4，而S△PAB=AB*Py/2
所以：AB*Py/2=8
===> Py=4，即P点纵坐标为4
===> x^-2x-3=4,或者x^-2x-3=-4
当x^-2x-3=4时，x=1+2√2或者x=1-2√2
当x^-2x-3=-4时，x=1
所以，P点坐标为(1+2√2，4)或(1-2√2，4)或(1，-4)

（3）
①由前面的计算可以得到，C(0,-3),且抛物线的对称轴为x=1
所以，令Q点坐标为Q(1，y)
那么，△QAC的周长=QA+QC+AC=(√y^+4)+[√1+(y+3)^]+√10
可以看出，要使得△QAC的周长最小，即只要保证(√y^+4)+[√1+(y+3)^]最小即可
令f(y)=(√y^+4)+[√1+(y+3)^],在f'(y)=0得到y=-2,此时f(y)有最小值，也即是△QAC的周长有最小值。
此时，Q点坐标为Q(1,-2)

Answer 3

1）抛物线y=x^+bx+c与x轴交于A（-1,0）B(3,0)两点,将A、B两点坐标代入抛物线方程，得到：
1-b+3=0
9+3b+c=0
解得：b=-2,c=-3
所以，该抛物线的解析式为：y=x^-2x-3

（
（2）
①由前面的计算可以得到，C(0,-3),且抛物线的对称轴为x=1
所以，令Q点坐标为Q(1，y)
那么，△QAC的周长=QA+QC+AC=(√y^+4)+[√1+(y+3)^]+√10
可以看出，要使得△QAC的周长最小，即只要保证(√y^+4)+[√1+(y+3)^]最小即可
令f(y)=(√y^+4)+[√1+(y+3)^],在f'(y)=0得到y=-2,此时f(y)有最小值，也即是△QAC的周长有最小值。
此时，Q点坐标为Q(1,-2)