Question

高中涵数题目

已知定义在R上的函数F（X）的反函数为F—1（X），且涵数F（X+1）的反涵数恰为Y=F—1（X+1），若F（1）=3999，求F（2007）的值

具体步骤谢谢
你解的我看懂了,可是F（A-1）=B+2
F（A-2）=B+3
F（A-3）=B+4
证不出来,你能帮我再证一个么

Answer 1

注意：我认为“bob1116”的解答有误。开头的论断有错：
“设 F（A+1）=B
反涵数 A=F—1（B+1），
（ 这个不知道你能不能看懂 就是反函数的自变量是原函数的因变量）”
其实，根据反函数的定义，若 F（A+1）=B ，则
反涵数 A=F-1（B）-1.

我的解答(欢迎探讨)：
下面约定：函数f(x)的反函数用f^(x)表示.
法1：设y＝F^(x+1),则x+1=F(y),x=F(y)-1,
所以y＝F^(x+1)的反函数是y＝F(x)-1.
由条件得：F(x+1)=F(x)-1.....................(1)
因F(1)=3999,所以由(1)得：
F(2)=F(1)-1=3998,
F(3)=F(21=3997,
F(4)=F(3)-1=3996
..................
F(2007)=f(2006)-1=1993.

法2：设y＝F(x+1)，则x+1＝F^(y),x=F^(y)-1,
所以：y＝F(x+1)的反函数是y＝F^(x)-1.
由条件知，F^(x)-1＝F^(x+1)，
即f^(x)=F^(x+1)+1.........................(2)
设t＝F(2007),为了求t的值，则只需看等式
F^(t)=2007在t为何值时成立。
因为F(1)=3999,所以F^(3999)=1,
因此，由(2)得
F^(3998)=F^(3999)+1=2,
F^(3997)=F^(3998)+1=3,
F^(3996)=F^(3997)+1=4,
.......................
F^(1993)=F^(1994)+1=2007.
所以F(2007)＝1993。

Answer 2

涵数F（X+1）的反涵数恰为Y=F—1（X+1），

很抽象 意思是说
设 F（A+1）=B
反涵数 A=F—1（B+1），
（ 这个不知道你能不能看懂 就是反函数的自变量是原函数的因变量）

又函数F（X）的反函数为F—1（X），

所以 有 A=F—1（B+1），
反涵数 F（A）=B+1

重复上面两步可以的
F（A）=B+1
F（A-1）=B+2
F（A-2）=B+3
F（A-3）=B+4
F（A-2006）=B+2007
所以
A=2007
F（A-2006）=F（1）=B+2007=3999
所以
B=1992
F（2007）=F（A）=B+1=1993

F（A）=B+1
反涵数 A+1=F—1（B+2），
又函数F（X）的反函数为F—1（X），
所以 有 A+1=F—1（B+2），
反涵数 F（A+1）=B+2

(你可以把A-1看成另一个变量比如U
B+2看成 比如V+1
然后就把 U V 看做第一步的 A 和 B 就可以推出来了)