Question

设a^2+b^2+c^2+d^2=C, f(a,b,c,d)=a+b+c+d, 求何时f最大

此处C为常数
直觉上应该是a=b=c=d但是我不会推
求解

Answer 1

f最大可推得f平方最大
f^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd
由不等式2ab≤a^2+b^2,且等号当且仅当a=b时成立,得
f^2≤C+a^2+b^2+a^2+c^2+a^2+d^2+b^2+c^2+b^2+d^2+c^2+d^2
=C+3(a^2+b^2+c^2+d^2)=4C
当a=b=c=d时等号成立
注意的是由于要求f的最大值,所以a,b,c,d不能为负,故有a=b=c=d≥0

Answer 2

(a+b+c+d)^2=(a^2+b^2+c^2+d^2)+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd
又2ab<=a^2+b^2
2ac<=a^2+c^2
2ad<=a^2+d^2
2bc<=b^2+c^2
2bd<=b^2+d^2
2cd<=c^2+d^2
所以上式右边<=(a^2+b^2+c^2+d^2)+3(a^2+b^2+c^2+d^2)=4C
当a=b=c=d时取等号
所以有a+b+c+d<=2√C, 当a=b=c=d时取等号。

Answer 3

解：
作长方形ABCD，使AB=b-a，AD=c，
延长DA至E，使DE=d；延长DC至F使DF=b，
连接EF、FB，则BF= 根号a2+c2 ，EF=根号 b2+d2 ，BE= 根号(b-a)2+(d-c)2 ，
从而知△BEF就是题设中的三角形，
而S△BEF=S长方形ABCD+S△BCF+S△ABE-S△DEF=
（b-a）c+1 2 ac+1 2 （d-c）（b-a）-1 2 bd
=1 2 （bc-ad）．
故答案为：1 2 （bc-ad）．