叙述海涅定理(lim(x趋向无穷小)f(x)=A的情形)
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lim x → x 0 f ( x ) = A \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=Alim
x→x
f(x)=A的充分必要条件是:
对任何趋于x 0 {x_0}x
的数列{ x n } \{x_n\}{x
n
},其相应的函数值数列{ f ( x n ) } \{f(x_n)\}{f(x
n
)}满足lim n → ∞ f ( x n ) = A \lim_{n\rightarrow\infty} f(x_n)=Alim
n→∞
f(x
n
)=A
换句话说就是对于所有数列{ x n } \{x_n\}{x
n
},只要x n → x 0 x_n\rightarrow x_0x
n
→x
,就有f ( x n ) → A f(x_n)\rightarrow Af(x
n
)→A
具体证明略.
理解起来确实有些困难，但它的意思是：
只要所有趋于x 0 x_0x
的数列{ x n } \{x_n\}{x
n
}对应的新数列{ f ( x n ) } \{f(x_n)\}{f(x
n
)}，满足lim n → ∞ f ( x n ) = A \lim_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=Alim
n→∞
f(x
n
)=A,那么函数f ( x ) f(x)f(x)的极限就是A。
反过来也能从函数极限是A推断所有趋于x 0 x_0x
的数列{ x n } \{x_n\}{x
n
}对应的新数列{ f ( x n ) } \{f(x_n)\}{f(x
n
)}，满足lim n → ∞ f ( x n ) = A \lim_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=Alim
n→∞
f(x
n
)=A
例:
证明lim x → x 0 f ( x ) \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)lim
x→x
f(x)不存在.
解:取
咨询记录 · 回答于2021-11-20
叙述海涅定理(lim(x趋向无穷小)f(x)=A的情形)
000000您好，我这边正在为您查询，请稍等片刻，我这边马上回复您~
您好，您这个应该就是梅涅劳斯定理吧？
梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么AF/FB×BD/DC×CE/EA=1。
证明：
过点A作AG‖BC交DF的延长线于G
AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG
三式相乘得：
AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1
它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。
海涅定理是沟通函数极限和数列极限之间的桥梁。根据海涅定理，求函数极限则可化为求数列极限，同样求数列极限也可转化为求函数极限。因此，函数极限的所有性 质都可用数列极限的有关性质来加以证明。根据海涅定理的必要重要条件还可以判断函数极限是否存在。所以在求数列或函数极限时，海涅定理起着重要的作用。 海涅定理是德国数学家海涅（heine）给出的，应用海涅定理人们可把函数极限问题转化（归结）成数列问题，因而人们又称它为归结原则
2015-01-21 回答
海涅定理是沟通函数极限和数列极限之间的桥梁。根据海涅定理，求函数极限则可化为求数列极限，同样求数列极限也可转化为求函数极限。因此，函数极限的所有性 质都可用数列极限的有关性质来加以证明。
海涅定理的内容：
函数f(x)在x→x0时极限等于A的充要条件是，对于任何满足以下三个条件的数列{xn}，都有n→+∞时f(xn)的极限等于A成立：
（1）对任何正整数n，都有xn≠x0；
（2）对任何正整数n，f(xn)都要有定义；
（3）n→+∞时xn→x0.
希望以上回答对您有所帮助~ 如果您对我的回答满意的话，麻烦给个赞哦~
海涅定理的定义理解起来较为复杂.虽然其形式本身就有些晦涩,但用于证伪却十分简单.
下面给出定义.
lim x → x 0 f ( x ) = A \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=Alim
x→x
f(x)=A的充分必要条件是:
对任何趋于x 0 {x_0}x
的数列{ x n } \{x_n\}{x
n
},其相应的函数值数列{ f ( x n ) } \{f(x_n)\}{f(x
n
)}满足lim n → ∞ f ( x n ) = A \lim_{n\rightarrow\infty} f(x_n)=Alim
n→∞
f(x
n
)=A
换句话说就是对于所有数列{ x n } \{x_n\}{x
n
},只要x n → x 0 x_n\rightarrow x_0x
n
→x
,就有f ( x n ) → A f(x_n)\rightarrow Af(x
n
)→A
具体证明略.
理解起来确实有些困难，但它的意思是：
只要所有趋于x 0 x_0x
的数列{ x n } \{x_n\}{x
n
}对应的新数列{ f ( x n ) } \{f(x_n)\}{f(x
n
)}，满足lim n → ∞ f ( x n ) = A \lim_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=Alim
n→∞
f(x
n
)=A,那么函数f ( x ) f(x)f(x)的极限就是A。
反过来也能从函数极限是A推断所有趋于x 0 x_0x
的数列{ x n } \{x_n\}{x
n
}对应的新数列{ f ( x n ) } \{f(x_n)\}{f(x
n
)}，满足lim n → ∞ f ( x n ) = A \lim_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=Alim
n→∞
f(x
n
)=A
例:
证明lim x → x 0 f ( x ) \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)lim
x→x
f(x)不存在.
解:取
x n ′ = 1 2 n π x_n'=\frac{1}{2n\pi}x
n
′
=
2nπ
1
,则x n ′ → 0 x_n'\rightarrow 0x
n
′
→0且x n ′ ≠ 0 ( n → ∞ ) x_n'≠0(n\rightarrow \infty)x
n
′
=0(n→∞)
则lim n → ∞ 1 sin x n ′ = lim n → ∞ sin 2 n π = 0 \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sin x_n'}=\lim_{n\rightarrow\infty}\sin 2n\pi=0lim
n→∞
sinx
n
′
1
=lim
n→∞
sin2nπ=0
再取x n ′ ′ = 1 2 n π + π 2 x_n''=\frac{1}{2n\pi+\frac{\pi}{2}}x
n
′′
=
2nπ+
2
π
1
,则x n ′ ′ → 0 x_n''\rightarrow0x
n
′′
→0且x n ′ ′ ≠ 0 ( n → ∞ ) x_n''≠0(n\rightarrow \infty)x
n
′′
=0(n→∞)
lim x → ∞ sin 1 x n ′ ′ = lim n → ∞ sin ( 2 n π + π 2 ) = 1 \lim_{x\rightarrow\infty}\sin \frac{1}{x_n''}=\lim_{n\rightarrow\infty}\sin(2n\pi+\frac{\pi}{2})=1lim
x→∞
sin
x
n
′′
1
=lim
n→∞
sin(2nπ+
2
π
)=1
显然两个极限不相等,所以极限不存在.
从这里可以看出,海涅定理的任意性使得其难以证明命题为真,但是很容易证明命题为假(只要举出两个反例,你就能证明出来!),因此多用于反证法与归谬法中.
另外，海涅定理使得数列极限可以转化为函数极限再来求解，这就使得极限的求解过程中可以使用许多如洛必达法则等函数专有的方法去解题。
希望以上回答对您有所帮助~ 如果您对我的回答满意的话，麻烦给个赞哦~
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