Question

知圆O:x2+y2=1,M,N,P是圆O上的三个动点,且满足∠MON=,+则_________.

Answer 1

问：知圆O:x2+y2=1,M,N,P是圆O上的三个动点,且满足∠MON=,+则_________.

答：（1）作AH⊥OM于H，如图1，在Rt△OAH中，OA=5，sin∠AOH=AHOA=35，∴AH=3，∵AH⊥BC，∴CH=BH=12BC=12y，∵OD=x，∴AD=5-x，在Rt△ACH中，AC=5-x，AH=3，CH=12y，∴（12y）2=（5-x）2-32，∴y=2x2−10x+16（0＜x＜5）；（2）作A′E⊥OA于E，如图，∵⊙A沿直线OM翻折后得到⊙A′，∴A′H=AH=3，⊙A′的半径为5-x，在Rt△OAH中，OH=OA2−AH2=4，∵⊙A′与直线OA相切，∴A′E=5-x，∵∠HAO=∠EAA′，∴Rt△OAH∽Rt△A′AE，∴OA：AA′=OH：A′E，即5：6=4：（5-x），∴x=15；（3）作A′G⊥OA于G，连结A′D，如图3，∵⊙A′与以D为圆心、DO为半径的⊙D相切，∴A′D=x+5-x=5，∵∠HAO=∠GAA′，∴Rt△OAH∽Rt△A′AG，∴AHAG=OHA′G=OAAA′，即3AG=4A′G=56，∴AG=185，A′G=245，∴DG=AG-AD=185-（5-x）=x-75，在Rt△A′GD中，∵A′G2+GD2=A′D2，∴（245）2+（x-75）2=52，整理得x2-145x=0，解得x1=0（舍去），x2=145，∴x的值为145．（1）作AH⊥OM于H，如图1，在Rt△OAH中，根据正弦的定义求出AH=3，根据垂径定理由AH⊥BC得CH=BH=12BC=12y，由于OD=x，则AD=5-x，然后在Rt△ACH中利用勾股定理得到（12y）2=（5-x）2-32，再整理即可得到y与x的函数关系；（2）作A′E⊥OA于E，根据折叠的性质得A′H=AH=3，⊙A′的半径为5-x，在Rt△OAH中，利用勾股定理计算出OH=4；由于⊙A′与直线OA相切，根据切线的性质得A′E=5-x，再证明Rt△OAH∽Rt△A′AE，利用相似比得到5：6=4：（5-x），然后解方程可得到x的值；（3）作A′G⊥OA于G，连结A′D，根据两圆相切的性质得A′D=x+5-x=5，再证明Rt△OAH∽Rt△A