设fx为连续函数且fx=x-2∫f(t)dt,则f(x)=

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夷则三玖

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摘要设 $A = \int_{0}^{1} f(t) \, dt$

则 $f(x) = x + A$

$A = f(x) - x$

所以 $f(x) = x - 2 \int_{0}^{1} f(t) \, dt$

$= x - 2 \int (t + A) \, dt$

$= x - 2 \left( \frac{t^2}{2} + A t \right) \Bigg|_{0}^{1}$

$= x - 2 \left( \frac{1}{2} + A \right)$

$= x - 1 - 2A$

$= x - 1 - 2(f(x) - x)$

$= x - 1 - 2f(x) + 2x$

$= 3x - 2f(x) - 1$

所以 $3f(x) = 3x - 1$ 即 $f(x) = x - \frac{1}{3}$

咨询记录 · 回答于2024-01-02

设fx为连续函数且fx=x-2∫f(t)dt,则f(x)=

设 $A = \int_{0}^{1} f(t) \, dt$ 则 $f(x) = x + A$ $A = f(x) - x$ 所以 $f(x) = x - 2\int_{0}^{1} f(t) \, dt$ $= x - 2\int_{0}^{1} (t + A) \, dt$ $= x - 2\left(\frac{t^{2}}{2} + At \right) \Bigg|_{0}^{1}$ $= x - 2\left(\frac{1}{2} + A \right)$ $= x - 1 - 2A$ $= x - 1 - 2(f(x) - x)$ $= x - 1 - 2f(x) + 2x$ $= 3x - 2f(x) - 1$ 所以 $3f(x) = 3x - 1$ 即 $f(x) = x - \frac{1}{3}$

你先看一下这样能看懂吗

可以的

谢谢老师！( ﾟ∀ ﾟ)

不客气，有问题还可以找我哦

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