Question

ABc=90, AB=3,Ac=5,已知平面上有点p,使pb永远等于2pa求pc的最小值

Answer 1

问：ABc=90, AB=3,Ac=5,已知平面上有点p,使pb永远等于2pa求pc的最小值

答：你好，亲，根据您的问题描述:根据题意，我们可以先利用余弦定理求出角BAC的大小：cos(BAC) = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 * AB * AC) = (3^2 + 5^2 - 90^2) / (2 * 3 * 5) = -89 / 30因为角BAC是锐角，所以cos(BAC) < 0。接下来，我们可以将点P设为线段AB的延长线上的点Q，使得AQ = AB。这样，我们就可以利用向量的知识来求解PC的最小值。设向量AP为a，向量PB为b，则向量PC可以表示为：c = a + b/2因为PB永远等于2PA，所以b = 2a。代入上式得到：c = a + a = 2a因此，PC的长度等于向量c的长度。根 4*3*4*(-89/30) ≈ 39.56因此，|PC| = sqrt(|c|^2) ≈ sqrt(39.56) ≈ 6.29所以PC的最小值为6.29。

问：初中学生没学过向量

答：首先，我们可以利用三角函数求出角B的正弦值和余弦值：sinB = AC/AB = 5/3cosB = BC/AB由于cosB = sin(90-B)，所以cosB = sin(90-B) = PB/PA因此，PB/PA = cosB = BC/AB又因为PB = 2PA，所以BC = AB×PB/2 = 3×2/2 = 3现在我们可以利用勾股定理求出PC的长度：PC²= PB² + BC² =(2PA)² + 3² =4PA² + 9又因为sinA=AC/AB=5/3，所以cosA=sqrt(1-sin^2A)=4/3。由于三角形ABC是直角三角形，所以sinC=sin(90-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=(5BC+4AC)/15。因此，PC²=4PA²+9 >=4(AP-AC)²+9 >=4(AP-5)²+9 (因为AC=5) >=13 (当且仅当AP=5时取等号)因此，PC的最小值为sqrt(13)。