Question

微分方程y〞十y=3sinx的特解

Answer 1

问：微分方程y〞十y=3sinx的特解

答：亲您好，首先，我们需要求出微分方程对应的齐次方程的通解：特征方程为 $r^2-1=0$，解得$r_1=1$，$r_2=-1$。因此，齐次方程 $y''-y=0$ 的通解为$y=C_1e^x+C_2e^{-x}$，其中 $C_1,C_2$为任意常数。对于非齐次方程，我们可以假设其特解为 $y_p=A\sin{x}+B\cos{x}$。将其代入原微分方程中，可得：$$y_p''-y_p=3\sin{x}\quad\Rightarrow\quad (-A\sin{x}-B\cos{x})-(A\sin{x}+B\cos{x})=3\sin{x}$$解方程组可得 $A=0$， $B=-\frac{3}{2}$，因此特解为 $y_p=-\frac{3}{2}\cos{x}$。综上所述，微分方程 $y''-y=3\sin{x}$ 的通解为 $y=C_1e^x+C_2e^{-x}-\frac{3}{2}\cos{x}$，其中 $C_1,C_2$为任意常数，$y=-\frac{3}{2}\cos{x}$ 是该微分方程的一个特解。希望我的答复能帮到您！

问：微分方程y〞十y=x^2e^x的特解可设为

问：抱歉 上面的那个特解的符号没怎么看懂

答：亲您好，微分方程y〞-y=x^2e^x是二阶非齐次线性微分方程，可以用待定系数法求解它的特解。特解可以设为y*_p_*=Ax^2e^x，其中A为待定系数。将特解带入微分方程得：y*_p_〞-y*_p_=(2Ae^x+x^2e^x)-(Ax^2e^x)=-Ax^2e^x+2Ae^x+x^2e^x将变量x代入：y*_p_〞-y*_p_|x=0=-A(0)^2e^0+2Ae^0+0=2A因为右边是非零函数，所以特征根为y=e^0=1，为单根。根据待定系数法，特解中的常数A满足：A=(x^2e^x)/(2e^x)=x^2/2所以该非齐次线性微分方程的特解为：y*_p_=(x^2/2)e^x