Question

△ABC中,三边为正整数,其中a+b=8,ab-c2十10c=41,求△ABC周长。

Answer 1

问：△ABC中,三边为正整数,其中a+b=8,ab-c2十10c=41,求△ABC周长。

答：根据题目条件，可列出以下方程组： $$\begin{cases}a+b=8 \\ ab-c^2+10c=41\end{cases}$$ 变形可得： $$\begin{cases}a=8-b \\ c^2-ab+10c=41\end{cases}$$ 将$a=8-b$代入第二个方程，得到： $$c^2-b(8-b)+10c=41$$ 化简可得： $$b^2-8b+c^2+10c-41=0$$ 因为三角形三边为正整数，所以$b$和$c$必须为正整数。解这个二元二次方程可以用求根公式： $$b=\frac{8\pm\sqrt{64-4(c^2+10c-41)}}{2}=4\pm\sqrt{c^2+10c-9}$$ 因为$b$和$c$都是正整数，所以$c^2+10c-9$必须是完全平方数。考虑完全平方数的性质，设$c^2+10c-9=k^2$，则： $$(c+5)^2-34=k^2$$ 移项可得： $$(c+5)^2-k^2=34$$ 因为$k$和$c+5$都是正整数，所以只有$k+1=c+5$，$k-1=c+5$两种可能。解得$k=3,c=-8$或$k=9,c=4$。因为$c$是正整数，所以只有$c=4$满足条件。再代入$b=4+\sqrt{c^2+10c-9}=7$，$a=8-b=1$，就得到了三角形三边长度为$1,7,4$，周长为$1+7+4=12$。因此，$\triangle ABC$的周长为$12$。