Question

12.若a,b为正整数且 a|5|^6, b|51^6 a|b,则满足条件的正整数对(a,b)共有_ __

Answer 1

问：12.若a,b为正整数且 a|5|^6, b|51^6 a|b,则满足条件的正整数对(a,b)共有_ __

答：根据题意，有：a|5^6b|51^6a|b由于 a 和 b 都是正整数，因此可以将 5^6 和 51^6 分解质因数，得到：5^6 = 2^6 × 5^651^6 = 3^6 × 17^6又因为 a|5^6，所以 a 的因数中必然包含 2 和 5。又因为 a|b，所以 b 的因数中必然包含 a 的所有因数。因此，b 的因数中必然包含 2 和 5。同时，a 和 b 都是 51^6 的因数，因此二者的因数中也必然包含 3 和 17。又因为 a|b，所以 b 的因数中必然包含 a 的所有因数，因此 b 的因数中也包含 3 和 17。综上所述，a 和 b 的因数中必然包含 2、3、5 和 17 四个质因数。因此，满足条件的正整数对 (a, b) 可以通过以下方式计算：对于每个质因数，考虑它在 a 和 b 中出现的次数，设分别为 m 和 n。由于 a|5^6 和 b|51^6，所以 m 和 n 的取值范围分别为 0~6 和 0~6。对于每个质因数，根据乘法原理，它在 a 和 b 中的出现方式一共有 (m+1) × (n+1) 种可能。将各个质因数的出现方式相乘，即可得到满足条件的正整数对总数。根据上述计算方法，可以得到满足条件的正整数对 (a, b) 的总数为：(6+1) × (6+1) × (0+1) × (6+1) = 1764因此，满足条件的正整数对 (a,b) 共有 1764 对。

问：老师看一下学校答案

答：将 51651 6 进行质因数分解，得到：516=312⋅17651 6 =3 12 ⋅17 6 由于 �∣516a∣51 6 且 �∣�a∣b，那么 �b 也必然能够整除 51651 6 。设 �=3�⋅17�a=3 m ⋅17 n ，其中 0≤�≤120≤m≤12，0≤�≤60≤n≤6。由于 �∣�a∣b，所以 �b 必须至少包含 �a 的所有质因子，即 �b 的形式为：�=3�⋅17�(�≤�≤12,�≤�≤6)b=3 p ⋅17 q (m≤p≤12,n≤q≤6)